6.设 =yln (xy), 求 dfrac ({a)^3z}(a{x)^2ay}, dfrac ({partial )^3z}(partial xpartial {y)^2}

考查要点：本题主要考查三阶混合偏导数的计算，涉及对变量的多次求导及求导顺序的理解。

解题核心思路：

1. 确定求导顺序：根据题目中的偏导数符号，明确先对哪个变量求导，再对哪个变量求导。
2. 分步求导：先对其中一个变量求导，再对结果继续对其他变量求导，注意每一步的中间结果。
3. 化简表达式：在每一步求导后，及时化简表达式，避免复杂运算。

破题关键点：

• 正确拆分复合函数：将$\ln(xy)$拆分为$\ln x + \ln y$，简化求导过程。
• 注意隐含的乘积法则：在对$y \ln(xy)$求导时，需应用乘积法则。
• 区分变量求导：对某一变量求导时，其他变量视为常数。

求$\dfrac{{\partial}^{3}z}{\partial{x}^{2}\partial y}$

第一步：对$y$求一阶偏导

$\frac{\partial z}{\partial y} = \ln(xy) + y \cdot \frac{1}{xy} \cdot x = \ln x + \ln y + 1$

第二步：对$x$求一阶偏导

$\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (\ln x + \ln y + 1) = \frac{1}{x}$

第三步：对$x$求二阶偏导

$\frac{\partial^{3} z}{\partial x^{2} \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{1}{x^{2}}$

求$\dfrac{{\partial}^{3}z}{\partial x \partial {y}^{2}}$

第一步：对$y$求一阶偏导

$\frac{\partial z}{\partial y} = \ln x + \ln y + 1$

第二步：对$y$求二阶偏导

$\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = \frac{\partial}{\partial y} (\ln x + \ln y + 1) = \frac{1}{y}$

第三步：对$x$求一阶偏导

$\frac{\partial^{3} z}{\partial x \partial y^{2}} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{y} \right) = 0$