题目
【题目】设随机变量X服从参数为1的指数分布,求随机变量的函数Y=e^X 的密度函数 f_Y(y) .
【题目】设随机变量X服从参数为1的指数分布,求随机变量的函数Y=e^X 的密度函数 f_Y(y) .
题目解答
答案
【解析】解因 y=e^x 的反函数为 x=lny ；当 y1 时单增， x'=1/y ，所以当 y1 时，有f_Y(y)=f_X(lny)|(lny)'|=e^(-lny)⋅y^(-1)=y^(-2) ,因此 Y=e^X 的密度函数为f_Y(y)=f_X(lny)|(lny)|l_0=y^(-2),;0,.y1,≤1.
解析
步骤 1：确定随机变量X的分布函数
随机变量X服从参数为1的指数分布，其概率密度函数为f_X(x) = e^(-x) 对于 x > 0，且为0对于 x ≤ 0。
步骤 2：确定Y=e^X的反函数
Y=e^X的反函数为X=lnY，其中Y>0。
步骤 3：计算Y的密度函数
根据变换公式，Y的密度函数f_Y(y)可以通过X的密度函数f_X(x)和X关于Y的导数来计算。由于X=lnY，我们有dX/dY = 1/Y。因此，当Y>0时，Y的密度函数为：
f_Y(y) = f_X(lny) * |dX/dY| = e^(-lny) * (1/y) = y^(-1) * y^(-1) = y^(-2)。
步骤 4：确定Y的密度函数的定义域
由于X的定义域为x > 0，因此Y=e^X的定义域为y > 1。当y ≤ 1时，f_Y(y) = 0。
随机变量X服从参数为1的指数分布，其概率密度函数为f_X(x) = e^(-x) 对于 x > 0，且为0对于 x ≤ 0。
步骤 2：确定Y=e^X的反函数
Y=e^X的反函数为X=lnY，其中Y>0。
步骤 3：计算Y的密度函数
根据变换公式，Y的密度函数f_Y(y)可以通过X的密度函数f_X(x)和X关于Y的导数来计算。由于X=lnY，我们有dX/dY = 1/Y。因此，当Y>0时，Y的密度函数为：
f_Y(y) = f_X(lny) * |dX/dY| = e^(-lny) * (1/y) = y^(-1) * y^(-1) = y^(-2)。
步骤 4：确定Y的密度函数的定义域
由于X的定义域为x > 0，因此Y=e^X的定义域为y > 1。当y ≤ 1时，f_Y(y) = 0。