21.已知男子有5%是色盲患者,女子有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地挑-|||-选一人,恰好是色盲患者,问:此人是男性的概率是多少?

考查要点：本题主要考查条件概率的应用，特别是贝叶斯定理的理解与计算。需要结合全概率公式来求解逆概率问题。

解题核心思路：

1. 明确事件定义：设男性为事件$A$，女性为事件$B$，色盲患者为事件$C$。
2. 确定先验概率：根据题意，$P(A)=P(B)=\dfrac{1}{2}$，男性色盲概率$P(C|A)=5\%$，女性色盲概率$P(C|B)=0.25\%$。
3. 计算全概率：利用全概率公式求出总体色盲概率$P(C)$。
4. 应用贝叶斯公式：通过$P(A|C)=\dfrac{P(C|A)P(A)}{P(C)}$计算后验概率。

破题关键点：

• 区分条件概率与逆概率：题目要求的是已知色盲条件下男性概率，需用贝叶斯公式。
• 准确计算全概率：需将男性和女性的色盲概率按人数比例加权求和。

步骤1：定义事件与已知条件

• 设$A$为“抽到男性”，$B$为“抽到女性”，$C$为“抽到色盲患者”。
• 已知：
  • $P(A)=P(B)=\dfrac{1}{2}$（男女数量相等）
  • $P(C|A)=5\%=0.05$（男性色盲概率）
  • $P(C|B)=0.25\%=0.0025$（女性色盲概率）

步骤2：计算总体色盲概率$P(C)$

根据全概率公式：
$\begin{aligned}P(C) &= P(C|A)P(A) + P(C|B)P(B) \\&= 0.05 \times \dfrac{1}{2} + 0.0025 \times \dfrac{1}{2} \\&= 0.025 + 0.00125 \\&= 0.02625 \quad (\text{即} \ 2.625\%)\end{aligned}$

步骤3：应用贝叶斯公式求$P(A|C)$

$\begin{aligned}P(A|C) &= \dfrac{P(C|A)P(A)}{P(C)} \\&= \dfrac{0.05 \times 0.5}{0.02625} \\&= \dfrac{0.025}{0.02625} \\&= \dfrac{20}{21}\end{aligned}$