题目

3.极限lim_(xtoinfty)(1-(2)/(x))^x=( )A. (1)/(e^2)B. (1)/(e)C. 1D. e

3.极限$\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{2}{x}\right)^{x}=( )$

A. $\frac{1}{e^{2}}$

B. $\frac{1}{e}$

C. 1

D. e

题目解答

答案

A. $\frac{1}{e^{2}}$

解析

本题考查重要极限公式$\lim_{x\to\infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e$的应用。解题思路是通过对所给极限式子进行变形，使其符合重要极限公式的形式，然后再进行计算。

  1. 设$t = -\frac{x}{2}$，则$x = -2t$。
    • 当$x\to\infty$时，$t\to\infty$。
  2. 将$x = -2t$代入原式$\lim_{x\to\infty}(1 - \frac{2}{x})^x$中：
    • 可得$\lim_{t\to\infty}(1 + \frac{1}{t})^{-2t}$。
  3. 根据指数运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$对$\lim_{t\to\infty}(1 + \frac{1}{t})^{-2t}$进行变形：
    • $\lim_{t\to\infty}(1 + \frac{1}{t})^{-2t}=\lim_{t\to\infty}[(1 + \frac{1}{t})^t]^{-2}$。
  4. 由重要极限公式$\lim_{t\to\infty}(1 + \frac{1}{t})^t = e$，可得：
    • $\lim_{t\to\infty}[(1 + \frac{1}{t})^t]^{-2}=e^{-2}=\frac{1}{e^{2}}$。