题目
若级数sum_(n=1)^inftyu_(n)收敛，则lim_(ntoinfty)(u_(n)^2+2)=2A 对B 错
若级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$收敛，则$\lim_{n\to\infty}(u_{n}^{2}+2)=2$
A 对
B 错
题目解答
答案
为了确定给定的陈述是否正确，我们需要分析级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$收敛的条件以及它对极限$\lim_{n\to\infty}(u_{n}^{2}+2)$的影响。
### 逐步解题过程
1. **理解级数收敛的条件：**
- 一个级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$收敛当且仅当其部分和的序列收敛。这意味着级数的通项$u_n$必须在$n$趋于无穷大时趋于零。数学上，$\lim_{n\to\infty}u_{n} = 0$。
2. **分析极限$\lim_{n\to\infty}(u_{n}^{2}+2)$：**
- 我们知道$\lim_{n\to\infty}u_{n} = 0$。利用极限的性质，我们可以找到$\lim_{n\to\infty}u_{n}^{2}$。由于函数$f(x) = x^2$是连续的，我们有：
\[
\lim_{n\to\infty}u_{n}^{2} = \left(\lim_{n\to\infty}u_{n}\right)^2 = 0^2 = 0.
\]
- 现在，我们可以找到极限$\lim_{n\to\infty}(u_{n}^{2}+2)$：
\[
\lim_{n\to\infty}(u_{n}^{2}+2) = \lim_{n\to\infty}u_{n}^{2} + \lim_{n\to\infty}2 = 0 + 2 = 2.
\]
### 结论
由于$\lim_{n\to\infty}(u_{n}^{2}+2) = 2$，给定的陈述是正确的。
因此，答案是$\boxed{A}$。
解析
步骤 1：理解级数收敛的条件
- 级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$收敛意味着其部分和序列收敛，即级数的通项$u_n$在$n$趋于无穷大时趋于零。数学上，$\lim_{n\to\infty}u_{n} = 0$。
步骤 2：分析极限$\lim_{n\to\infty}(u_{n}^{2}+2)$
- 由于$\lim_{n\to\infty}u_{n} = 0$，我们利用极限的性质来找到$\lim_{n\to\infty}u_{n}^{2}$。因为函数$f(x) = x^2$是连续的，我们有：\[ \lim_{n\to\infty}u_{n}^{2} = \left(\lim_{n\to\infty}u_{n}\right)^2 = 0^2 = 0. \]
- 现在，我们可以找到极限$\lim_{n\to\infty}(u_{n}^{2}+2)$：\[ \lim_{n\to\infty}(u_{n}^{2}+2) = \lim_{n\to\infty}u_{n}^{2} + \lim_{n\to\infty}2 = 0 + 2 = 2. \]
步骤 3：得出结论
- 由于$\lim_{n\to\infty}(u_{n}^{2}+2) = 2$，给定的陈述是正确的。
- 级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$收敛意味着其部分和序列收敛，即级数的通项$u_n$在$n$趋于无穷大时趋于零。数学上，$\lim_{n\to\infty}u_{n} = 0$。
步骤 2：分析极限$\lim_{n\to\infty}(u_{n}^{2}+2)$
- 由于$\lim_{n\to\infty}u_{n} = 0$，我们利用极限的性质来找到$\lim_{n\to\infty}u_{n}^{2}$。因为函数$f(x) = x^2$是连续的，我们有：\[ \lim_{n\to\infty}u_{n}^{2} = \left(\lim_{n\to\infty}u_{n}\right)^2 = 0^2 = 0. \]
- 现在，我们可以找到极限$\lim_{n\to\infty}(u_{n}^{2}+2)$：\[ \lim_{n\to\infty}(u_{n}^{2}+2) = \lim_{n\to\infty}u_{n}^{2} + \lim_{n\to\infty}2 = 0 + 2 = 2. \]
步骤 3：得出结论
- 由于$\lim_{n\to\infty}(u_{n}^{2}+2) = 2$，给定的陈述是正确的。