题目
函数[y = x - sin (x)/(2)cos (x)/(2)]，当x=0时导数( )A. (1)over(2) B. (2)over(9) C. (3)over(4) D. (2)over(5)
函数$
$y = x - \sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$
$，当$x=0$时导数( )
A. ${1}\over{2} $
B. ${2}\over{9} $
C. ${3}\over{4} $
D. ${2}\over{5} $
题目解答
答案
A. ${1}\over{2} $
解析
步骤 1：简化函数表达式
首先，我们注意到函数$y = x - \sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$可以利用三角恒等式$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$进行简化。将$\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$替换为$\frac{1}{2}\sin x$，得到$y = x - \frac{1}{2}\sin x$。
步骤 2：求导
接下来，我们对简化后的函数$y = x - \frac{1}{2}\sin x$求导。根据导数的定义，$y' = 1 - \frac{1}{2}\cos x$。
步骤 3：计算$x=0$时的导数值
最后，我们将$x=0$代入导数表达式$y' = 1 - \frac{1}{2}\cos x$中，得到$y'(0) = 1 - \frac{1}{2}\cos 0 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。
首先，我们注意到函数$y = x - \sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$可以利用三角恒等式$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$进行简化。将$\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$替换为$\frac{1}{2}\sin x$，得到$y = x - \frac{1}{2}\sin x$。
步骤 2：求导
接下来，我们对简化后的函数$y = x - \frac{1}{2}\sin x$求导。根据导数的定义，$y' = 1 - \frac{1}{2}\cos x$。
步骤 3：计算$x=0$时的导数值
最后，我们将$x=0$代入导数表达式$y' = 1 - \frac{1}{2}\cos x$中，得到$y'(0) = 1 - \frac{1}{2}\cos 0 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。