题目
1.设X_(i) (i=1,2,...,50)是相互独立的随机变量，且它们都服从参数为λ=0.03的泊松分布.记Z=X_(1)+X_(2)+...+X_(50).试利用中心极限定理求P(Z≥3)的近似值.
1.设$X_{i} (i=1,2,\cdots,50)$是相互独立的随机变量，且它们都服从参数为λ=0.03的泊松分布.记$Z=X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{50}$.试利用中心极限定理求P(Z≥3)的近似值.
题目解答
答案
由题意，$ Z = X_1 + X_2 + \cdots + X_{50} $，其中每个 $ X_i $ 服从参数为 $ \lambda = 0.03 $ 的泊松分布。
根据泊松分布的可加性，$ Z $ 服从参数为 $ \lambda' = 50 \times 0.03 = 1.5 $ 的泊松分布。
利用中心极限定理，当 $ n $ 足够大时，$ Z $ 近似服从正态分布 $ N(1.5, 1.5) $。
标准化得：
\[ P(Z \ge 3) = P\left( \frac{Z - 1.5}{\sqrt{1.5}} \ge \frac{1.5}{\sqrt{1.5}} \right) = P(U \ge \sqrt{1.5}) \]
其中 $ U $ 为标准正态变量，$ \sqrt{1.5} \approx 1.2247 $。
查表得 $ P(U \le 1.2247) \approx 0.8888 $，故
\[ P(U \ge 1.2247) \approx 1 - 0.8888 = 0.1112 \]
**答案：** $\boxed{0.1112}$
解析
步骤 1：确定$Z$的分布
由于$X_{i}$是相互独立的随机变量，且都服从参数为$\lambda=0.03$的泊松分布，根据泊松分布的可加性，$Z=X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{50}$服从参数为$\lambda'=50\times0.03=1.5$的泊松分布。
步骤 2：利用中心极限定理
当$n$足够大时，泊松分布可以近似为正态分布。因此，$Z$近似服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，其中$\mu=\lambda'=1.5$，$\sigma^2=\lambda'=1.5$。
步骤 3：标准化并计算概率
将$Z$标准化为标准正态分布$U$，即$U=\frac{Z-\mu}{\sigma}=\frac{Z-1.5}{\sqrt{1.5}}$。因此，$P(Z\geq3)=P\left(\frac{Z-1.5}{\sqrt{1.5}}\geq\frac{3-1.5}{\sqrt{1.5}}\right)=P(U\geq\sqrt{1.5})$。查标准正态分布表，得到$P(U\leq\sqrt{1.5})\approx0.8888$，因此$P(U\geq\sqrt{1.5})\approx1-0.8888=0.1112$。
由于$X_{i}$是相互独立的随机变量，且都服从参数为$\lambda=0.03$的泊松分布，根据泊松分布的可加性，$Z=X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{50}$服从参数为$\lambda'=50\times0.03=1.5$的泊松分布。
步骤 2：利用中心极限定理
当$n$足够大时，泊松分布可以近似为正态分布。因此，$Z$近似服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，其中$\mu=\lambda'=1.5$，$\sigma^2=\lambda'=1.5$。
步骤 3：标准化并计算概率
将$Z$标准化为标准正态分布$U$，即$U=\frac{Z-\mu}{\sigma}=\frac{Z-1.5}{\sqrt{1.5}}$。因此，$P(Z\geq3)=P\left(\frac{Z-1.5}{\sqrt{1.5}}\geq\frac{3-1.5}{\sqrt{1.5}}\right)=P(U\geq\sqrt{1.5})$。查标准正态分布表，得到$P(U\leq\sqrt{1.5})\approx0.8888$，因此$P(U\geq\sqrt{1.5})\approx1-0.8888=0.1112$。