题目
设β，α 1，α 2线性相关，β，α 2，α 3线性无关，则（ ）A. α 1，α 2，α 3线性相关B. α 1，α 2，α 3线性无关C. α 1可用β，α 2，α 3线性表示D. β可用α 1，α 2 线性表示
设β，α
1，α
2线性相关，β，α
2，α
3线性无关，则（ ）
A. α 1，α 2，α 3线性相关
B. α 1，α 2，α 3线性无关
C. α 1可用β，α 2，α 3线性表示
D. β可用α 1，α 2 线性表示
题目解答
答案
C. α
1可用β，α
2，α
3线性表示
解析
步骤 1：分析β，α _1，α _2线性相关
由于β，α _1，α _2线性相关，这意味着存在不全为零的实数k _1，k _2，k _3，使得k _1β + k _2α _1 + k _3α _2 = 0。这表明β可以由α _1和α _2线性表示，或者α _1和α _2可以由β线性表示，或者三者之间存在某种线性关系。
步骤 2：分析β，α _2，α _3线性无关
由于β，α _2，α _3线性无关，这意味着不存在不全为零的实数k _1，k _2，k _3，使得k _1β + k _2α _2 + k _3α _3 = 0。这表明β，α _2，α _3之间不存在线性关系，它们是线性独立的。
步骤 3：分析α _1，α _2，α _3线性相关性
由于β，α _1，α _2线性相关，而β，α _2，α _3线性无关，这意味着α _1可以由β，α _2，α _3线性表示。因为如果α _1不能由β，α _2，α _3线性表示，那么β，α _1，α _2，α _3将线性无关，这与β，α _1，α _2线性相关矛盾。因此，α _1，α _2，α _3线性相关。
由于β，α _1，α _2线性相关，这意味着存在不全为零的实数k _1，k _2，k _3，使得k _1β + k _2α _1 + k _3α _2 = 0。这表明β可以由α _1和α _2线性表示，或者α _1和α _2可以由β线性表示，或者三者之间存在某种线性关系。
步骤 2：分析β，α _2，α _3线性无关
由于β，α _2，α _3线性无关，这意味着不存在不全为零的实数k _1，k _2，k _3，使得k _1β + k _2α _2 + k _3α _3 = 0。这表明β，α _2，α _3之间不存在线性关系，它们是线性独立的。
步骤 3：分析α _1，α _2，α _3线性相关性
由于β，α _1，α _2线性相关，而β，α _2，α _3线性无关，这意味着α _1可以由β，α _2，α _3线性表示。因为如果α _1不能由β，α _2，α _3线性表示，那么β，α _1，α _2，α _3将线性无关，这与β，α _1，α _2线性相关矛盾。因此，α _1，α _2，α _3线性相关。