19.(判断题，5分)设f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)>0，则int_(a)^bf(x)dxcdotint_(a)^b(1)/(f(x))dxgeq(b-a)^2A. 对B. 错

本题考查定积分的性质以及柯西 - 施瓦茨不等式的应用。解题思路是利用柯西 - 施瓦茨不等式来证明给定的不等式成立。

柯西 - 施瓦茨不等式的积分形式为：对于在区间$[a,b]$上连续的函数$g(x)$和$h(x)$，有$(\int_{a}^{b}g(x)h(x)dx)^2\leqslant\int_{a}^{b}g^2(x)dx\cdot\int_{a}^{b}h^2(x)dx$。

下面我们来具体证明$\int_{a}^{b}f(x)dx\cdot\int_{a}^{b}\frac{1}{f(x)}dx\geqslant(b - a)^2$：
设$g(x)=\sqrt{f(x)}$，$h(x)=\frac{1}{\sqrt{f(x)}}$，因为$f(x)$在区间$[a,b]$上连续且$f(x)>0$，所以$g(x)$和$h(x)$在区间$[a,b]$上也连续。
根据柯西 - 施瓦茨不等式$(\int_{a}^{b}g(x)h(x)dx)^2\leqslant\int_{a}^{b}g^2(x)dx\cdot\int_{a}^{b}h^2(x)dx$，将$g(x)=\sqrt{f(x)}$，$h(x)=\frac{1}{\sqrt{f(x)}}$代入可得：
$\left(\int_{a}^{b}\sqrt{f(x)}\cdot\frac{1}{\sqrt{f(x)}}dx\right)^2\leqslant\int_{a}^{b}(\sqrt{f(x)})^2dx\cdot\int_{a}^{b}\left(\frac{1}{\sqrt{f(x)}}\right)^2dx$
先计算$\int_{a}^{b}\sqrt{f(x)}\cdot\frac{1}{\sqrt{f(x)}}dx$：
$\int_{a}^{b}\sqrt{f(x)}\cdot\frac{1}{\sqrt{f(x)}}dx=\int_{a}^{b}1dx$
根据定积分基本公式$\int_{a}^{b}1dx=b - a$，所以$\int_{a}^{b}\sqrt{f(x)}\cdot\frac{1}{\sqrt{f(x)}}dx=b - a$。
再计算$\int_{a}^{b}(\sqrt{f(x)})^2dx$和$\int_{a}^{b}\left(\frac{1}{\sqrt{f(x)}}\right)^2dx$：
$\int_{a}^{b}(\sqrt{f(x)})^2dx=\int_{a}^{b}f(x)dx$，$\int_{a}^{b}\left(\frac{1}{\sqrt{f(x)}}\right)^2dx=\int_{a}^{b}\frac{1}{f(x)}dx$。
将上述结果代入不等式$\left(\int_{a}^{b}\sqrt{f(x)}\cdot\frac{1}{\sqrt{f(x)}}dx\right)^2\leqslant\int_{a}^{b}(\sqrt{f(x)})^2dx\cdot\int_{a}^{b}\left(\frac{1}{\sqrt{f(x)}}\right)^2dx$中，得到$(b - a)^2\leqslant\int_{a}^{b}f(x)dx\cdot\int_{a}^{b}\frac{1}{f(x)}dx$，即$\int_{a}^{b}f(x)dx\cdot\int_{a}^{b}\frac{1}{f(x)}dx\geqslant(b - a)^2$。