题目

6.已知A(0,3)和 (3,dfrac (3)(2)) 为椭圆 :dfrac ({x)^2}({a)^2}+dfrac ({y)^2}({b)^2}=1(agt bgt 0) 上两点-|||-(1)求C的离心率;-|||-(2)若过P的直线l交C于另一点B,且 Delta ABP 的面积为9,求l的方程.

题目解答

答案


解析

考查要点：本题主要考查椭圆的标准方程、离心率的计算，以及直线与椭圆相交时的几何问题，涉及三角形面积的求解和直线方程的确定。

解题思路：

  1. 第一问：利用已知点坐标代入椭圆方程，联立方程组求解$a^2$和$b^2$，进而计算离心率$e$。
  2. 第二问：分斜率存在与不存在两种情况讨论，通过联立直线与椭圆方程求出交点，结合三角形面积公式建立方程，解出直线斜率$k$，最终确定直线方程。

破题关键：

  • 第一问的关键是正确代入点坐标，建立方程组求解椭圆参数。
  • 第二问需注意分类讨论斜率的存在性，并灵活运用韦达定理和面积公式建立方程。

第（1）题

  1. 代入点坐标：
    将点$A(0,3)$代入椭圆方程$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，得$\dfrac{9}{b^2} = 1$，解得$b^2 = 9$。
    将点$P(3, \dfrac{3}{2})$代入椭圆方程，得$\dfrac{9}{a^2} + \dfrac{9/4}{9} = 1$，化简得$\dfrac{9}{a^2} + \dfrac{1}{4} = 1$，解得$a^2 = 12$。

  2. 计算离心率：
    由$a^2 = 12$，$b^2 = 9$，得$c^2 = a^2 - b^2 = 3$，故$c = \sqrt{3}$。离心率$e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \dfrac{1}{2}$。

第（2）题

当直线斜率不存在时

  • 直线方程为$x = 3$，另一交点$B(3, -\dfrac{3}{2})$。
  • 计算三角形面积：$S = \dfrac{1}{2} \times |BP| \times d = \dfrac{9}{2} \neq 9$，不满足条件。

当直线斜率存在时

  1. 设直线方程：$y = k(x-3) + \dfrac{3}{2}$，代入椭圆方程$\dfrac{x^2}{12} + \dfrac{y^2}{9} = 1$，整理得：
    $(3 + 4k^2)x^2 + 4k(3 - 6k)x + (3 - 6k)^2 - 36 = 0.$

  2. 利用韦达定理：
    已知一根为$x = 3$，另一根$x_B = \dfrac{12k^2 - 12k - 9}{3 + 4k^2}$。

  3. 计算面积：

    • 底边$|BP| = \sqrt{1 + k^2} \cdot \dfrac{|12k + 18|}{3 + 4k^2}$，
    • 高$d = \dfrac{|3k + \dfrac{3}{2}|}{\sqrt{1 + k^2}}$，
    • 面积公式：$\dfrac{1}{2} \cdot |BP| \cdot d = 9$，化简得$|2k + 3| \cdot |2k + 1| = 8k^2 + 6$。

  4. 解方程：
    分情况讨论绝对值，解得$k = \dfrac{1}{2}$或$k = \dfrac{3}{2}$，对应直线方程为：
    $y = \dfrac{1}{2}x$ 或 $y = \dfrac{3}{2}x - 3$。