21.设随机变量(X,Y)的概率密度为-|||-f(x,y)= ) x+y, 0lt xlt 1,0lt ylt 1 0, .-|||-,-|||-分别求(1) =X+Y ,(2) Z=XY 的概率密度.

考查要点：本题主要考查二维连续型随机变量的和与积的概率密度求解方法，涉及卷积公式和变量变换法的应用。

解题核心思路：

1. 求和的密度（Z=X+Y）：利用卷积公式，通过积分联合密度函数，结合变量替换确定积分上下限。需分情况讨论Z的取值范围（0<z<1和1≤z<2），分别计算积分。
2. 求积的密度（Z=XY）：通过变量变换法，将联合密度函数转换为关于Z的积分表达式，确定积分区间后计算。

破题关键点：

• 积分限的确定：根据X和Y的定义域（0<x<1, 0<y<1），结合Z的表达式，分析变量替换后的约束条件。
• 积分计算：正确展开被积函数并分段积分，注意代数运算的准确性。

(1) Z = X + Y 的概率密度

确定积分区间

当 0 < z < 1 时，x 和 y 均需满足 0 < x < z 和 0 < y = z - x < 1，因此 x ∈ [0, z]。
当 1 ≤ z < 2 时，y = z - x 必须满足 0 < y < 1，即 x ∈ [z - 1, 1]。

计算积分

• 0 < z < 1：
  $f_Z(z) = \int_{0}^{z} [x + (z - x)] \, dx = \int_{0}^{z} z \, dx = z \cdot z = z^2.$

• 1 ≤ z < 2：
  $f_Z(z) = \int_{z-1}^{1} [x + (z - x)] \, dx = \int_{z-1}^{1} z \, dx = z \cdot (2 - z).$

(2) Z = XY 的概率密度

确定积分区间

当 0 < z < 1 时，需满足 0 < x < 1 且 0 < y = z/x < 1，即 x ∈ [z, 1]。

计算积分

$f_Z(z) = \int_{z}^{1} \frac{1}{x} \left( x + \frac{z}{x} \right) dx = \int_{z}^{1} \left( 1 + \frac{z}{x^2} \right) dx.$

积分结果

$\begin{aligned}\int_{z}^{1} \left( 1 + \frac{z}{x^2} \right) dx &= \left[ x - \frac{z}{x} \right]_{z}^{1} \\&= \left( 1 - z \right) - \left( z - 1 \right) \\&= 2(1 - z).\end{aligned}$