19. (2.0分) 【判断题】y=sqrt(ln5x+3^x)+sin^(2x)是初等函数。( )A. 对B. 错

本题考查初等函数的定义及判断。解题思路是依据初等函数的定义，判断所给函数是否能由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到。

初等函数的定义

由基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）经过有限次的四则运算和复合运算所构成，并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。

对函数$y = \sqrt{\ln5x + 3^{x} + \sin^{2}x}$进行分析

• 基本初等函数的识别：
  • 函数$\ln5x$是由对数函数$y = \ln u$与一次函数$u = 5x$复合而成，属于初等函数。
  • 函数$3^{x}$是指数函数，属于基本初等函数。
  • 函数$\sin x$是三角函数，属于基本初等函数，那么$\sin^{2}x$是$\sin x$的平方，也是初等函数。
• 四则运算：
  • 函数$\ln5x + 3^{x} + \sin^{2}x$是由$\ln5x$、$3^{x}$、$\sin^{2}x$这三个初等函数经过加法运算得到的，所以$\ln5x + 3^{x} + \sin^{2}x$是初等函数。
• 复合运算：
  • 函数$y = \sqrt{\ln5x + 3^{x} + \sin^{2}x}$是由幂函数$y = \sqrt{u}=u^{\frac{1}{2}}$与函数$u=\ln5x + 3^{x} + \sin^{2}x$复合而成，由于$u=\ln5x + 3^{x} + \sin^{2}x$是初等函数，所以$y = \sqrt{\ln5x + 3^{x} + \sin^{2}x}$也是初等函数。