设[x]是表示不超过x的最大整数,则 =x-[ x] 是 __-|||-(A)无界函数 (B)周期为1的周期函数 (C)单调函数 (D)偶函数

考查要点：本题主要考查对取整函数的理解，以及函数性质（有界性、周期性、单调性、奇偶性）的判断能力。

解题核心思路：

1. 明确函数定义：$y = x - [x]$ 表示$x$的小数部分，其值域为$[0,1)$。
2. 周期性分析：通过验证$f(x + 1) = f(x)$，判断函数是否为周期为1的周期函数。
3. 排除法：结合函数图像和性质，排除无界、单调、偶函数的可能性。

破题关键点：

• 周期性验证：利用取整函数的性质，证明$x + 1$时函数值不变。
• 反例判断：通过具体数值验证奇偶性和单调性是否成立。

选项分析

(A) 无界函数

分析：
$y = x - [x]$ 的值域为$[0,1)$，即$0 \leq y < 1$，显然函数是有界的。
结论：选项A错误。

(B) 周期为1的周期函数

分析：
对任意$x$，有：
$f(x + 1) = (x + 1) - [x + 1] = x + 1 - ([x] + 1) = x - [x] = f(x).$
因此，函数以1为周期。
结论：选项B正确。

(C) 单调函数

分析：
在区间$[n, n+1)$（$n$为整数）内，$y$随$x$增大而单调递增，但整体定义域上（如从$x=0.5$到$x=1.5$），函数值会出现下降，因此整体不单调。
结论：选项C错误。

(D) 偶函数

分析：
取反例验证：

• $x = 0.3$时，$f(0.3) = 0.3$；
• $x = -0.3$时，$f(-0.3) = -0.3 - (-1) = 0.7 \neq f(0.3)$。
  因此，函数不满足偶函数定义。
  结论：选项D错误。