.设质点的运动方程为r(t)=x(t)i+y(t)j,其中x(t)=1.0t+2.0,y(t)=0. 25t^2+2.0 ,式中x、y的单位为m(米),t的单位为s(秒).(1)求t=3s时的速度;(2)作出质点的运动轨迹图速度为什么是1.8

考查要点：本题主要考查质点运动的速度计算及运动轨迹的绘制，涉及导数求速度和消去时间参数求轨迹的方法。

解题核心思路：

1. 速度计算：速度是位置对时间的导数，分别对$x(t)$和$y(t)$求导得到速度分量$v_x$和$v_y$，再合成速度大小。
2. 轨迹绘制：通过消去时间参数$t$，将$x(t)$和$y(t)$联立，得到$y$与$x$的关系式，从而绘制轨迹图。

破题关键点：

• 导数应用：明确速度是位置函数的导数，注意$x(t)$为一次函数，$y(t)$为二次函数。
• 轨迹方程：通过$x(t)$表达$t$，代入$y(t)$消去$t$，得到$y$关于$x$的显式方程。

第（1）题：求$t=3\,\text{s}$时的速度

求$x$方向速度$v_x$

$x(t) = 1.0t + 2.0$，对$t$求导得：
$v_x = \frac{\text{d}x}{\text{d}t} = 1.0 \, \text{m/s}$

求$y$方向速度$v_y$

$y(t) = 0.25t^2 + 2.0$，对$t$求导得：
$v_y = \frac{\text{d}y}{\text{d}t} = 0.5t$
当$t=3\,\text{s}$时：
$v_y = 0.5 \times 3 = 1.5 \, \text{m/s}$

合成速度大小

速度大小为：
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{1.0^2 + 1.5^2} = \sqrt{3.25} \approx 1.80 \, \text{m/s}$

第（2）题：作出质点的运动轨迹图

消去时间参数$t$

由$x(t) = 1.0t + 2.0$，解得：
$t = x - 2.0$

代入$y(t)$表达式

将$t = x - 2.0$代入$y(t) = 0.25t^2 + 2.0$，得：
$y = 0.25(x - 2.0)^2 + 2.0$
展开整理：
$y = 0.25x^2 - 1.0x + 3.0$

轨迹特征

该方程为开口向上的抛物线，顶点坐标为$(2.0, 2.0)$，轨迹图如下图所示。