设曲线的极坐标方程为 rho = e^atheta (a > 0)，则该曲线上相应于 theta 从 0 变到 2pi 的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 _________.

考查要点：本题主要考查极坐标系下平面图形面积的计算方法，需要掌握极坐标方程转化为面积积分的基本公式，并能正确进行定积分的计算。

解题核心思路：

1. 极坐标面积公式：在极坐标中，由曲线$\rho = f(\theta)$从$\theta = \alpha$到$\theta = \beta$围成的面积公式为$A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} \rho^2 \, d\theta$。
2. 代入方程：将题目中的$\rho = e^{a\theta}$代入公式，转化为对$e^{2a\theta}$的积分。
3. 定积分计算：通过指数函数的积分规则求解定积分，注意上下限的代入。

破题关键点：

• 正确应用面积公式，明确积分变量为$\theta$，积分上下限为$0$到$2\pi$。
• 化简被积函数时注意平方运算，避免符号错误。
• 积分计算时注意分母系数的处理，避免计算错误。

1. 应用极坐标面积公式

根据极坐标面积公式：
$A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \rho^2 \, d\theta$
将$\rho = e^{a\theta}$代入，得：
$A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \left(e^{a\theta}\right)^2 \, d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} e^{2a\theta} \, d\theta$

2. 计算定积分

对$e^{2a\theta}$积分：
$\int e^{2a\theta} \, d\theta = \frac{1}{2a} e^{2a\theta} + C$
代入上下限$0$到$2\pi$：
$\int_{0}^{2\pi} e^{2a\theta} \, d\theta = \frac{1}{2a} \left[ e^{2a \cdot 2\pi} - e^{0} \right] = \frac{1}{2a} \left( e^{4a\pi} - 1 \right)$

3. 求最终面积

将积分结果代入面积公式：
$A = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2a} \left( e^{4a\pi} - 1 \right) = \frac{1}{4a} \left( e^{4a\pi} - 1 \right)$