7.将一个质量为4kg的铅球放在倾角为45°的斜面上，并用竖直挡板挡住，铅球处于静止状态（图3.5-9）。不考虑铅球受到的摩擦力，铅球对挡板的压力和对斜面的压力分别是多少？ 0-|||-45°

考查要点：本题主要考查物体的受力分析及力的分解与平衡，需要学生掌握如何将重力分解到特定方向，并利用平衡条件求解压力。

解题核心思路：

1. 受力分析：铅球受重力、斜面支持力、挡板支持力，三力平衡。
2. 分解重力：将重力分解为垂直斜面和水平方向的分量，分别由斜面和挡板提供平衡。
3. 三角函数应用：利用斜面倾角，通过三角函数关系建立方程求解压力。

破题关键点：

• 明确挡板方向：挡板竖直，其支持力方向水平。
• 正确分解重力：重力的水平分量由挡板支持力平衡，垂直斜面的分量由斜面支持力平衡。

受力分析与平衡方程

铅球受三个力：

1. 重力 $mg$，竖直向下；
2. 斜面支持力 $N_1$，垂直斜面向上；
3. 挡板支持力 $N_2$，水平向右。

根据平衡条件，水平方向和竖直方向的合力为零：

• 水平方向：$N_2 = N_1 \sin \alpha$
• 竖直方向：$N_1 \cos \alpha = mg$

求解斜面支持力 $N_1$

由竖直方向平衡方程：
$N_1 \cos \alpha = mg \implies N_1 = \frac{mg}{\cos \alpha}$

求解挡板支持力 $N_2$

将 $N_1$ 代入水平方向平衡方程：
$N_2 = \frac{mg}{\cos \alpha} \cdot \sin \alpha = mg \tan \alpha$

代入数据计算

已知 $m = 4 \, \text{kg}$，$g = 10 \, \text{m/s}^2$，$\alpha = 45^\circ$：

• 斜面支持力：
  $N_1 = \frac{4 \times 10}{\cos 45^\circ} = \frac{40}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 40\sqrt{2} \, \text{N}$
• 挡板支持力：
  $N_2 = 4 \times 10 \times \tan 45^\circ = 40 \times 1 = 40 \, \text{N}$