题目
某厂生产的碳素笔芯按盒出售,每盒50只,假设各盒含0,1,2只次品的概率依次为0.7,0.2,0.1;一顾客欲购一盒笔芯,顾客开盒随机察看5只,若无次品,则买下该盒笔芯,否则不购买.则顾客买下该盒的概率,在顾客买下的一箱中确实没有次品的概率分别为().A. 0.9608,0.7285B. 0.5608,0.5285C. 0.7608,0.7285D. 0.7608,0.5285
某厂生产的碳素笔芯按盒出售,每盒50只,假设各盒含0,1,2只次品的概率依次为0.7,0.2,0.1;一顾客欲购一盒笔芯,顾客开盒随机察看5只,若无次品,则买下该盒笔芯,否则不购买.则顾客买下该盒的概率,在顾客买下的一箱中确实没有次品的概率分别为().
A. 0.9608,0.7285
B. 0.5608,0.5285
C. 0.7608,0.7285
D. 0.7608,0.5285
题目解答
答案
A. 0.9608,0.7285
解析
步骤 1：定义事件
设事件A表示顾客买下该盒笔芯，事件B表示该盒笔芯含0只次品，事件C表示该盒笔芯含1只次品，事件D表示该盒笔芯含2只次品。
步骤 2：计算顾客买下该盒笔芯的概率
顾客买下该盒笔芯的概率为P(A)。根据题意，顾客买下该盒笔芯的条件是随机察看的5只笔芯中没有次品。因此，P(A) = P(B) + P(C) * P(无次品|C) + P(D) * P(无次品|D)。
步骤 3：计算P(无次品|C)和P(无次品|D)
P(无次品|C)表示在该盒笔芯含1只次品的条件下，随机察看的5只笔芯中没有次品的概率。P(无次品|D)表示在该盒笔芯含2只次品的条件下，随机察看的5只笔芯中没有次品的概率。
步骤 4：计算P(A)
P(A) = P(B) + P(C) * P(无次品|C) + P(D) * P(无次品|D) = 0.7 + 0.2 * (49/50)^5 + 0.1 * (48/50)^5 = 0.7 + 0.2 * 0.8051 + 0.1 * 0.6398 = 0.7 + 0.1610 + 0.0640 = 0.9250。
步骤 5：计算在顾客买下的一箱中确实没有次品的概率
在顾客买下的一箱中确实没有次品的概率为P(B|A)。根据贝叶斯公式，P(B|A) = P(A|B) * P(B) / P(A) = 1 * 0.7 / 0.9250 = 0.7568。
设事件A表示顾客买下该盒笔芯，事件B表示该盒笔芯含0只次品，事件C表示该盒笔芯含1只次品，事件D表示该盒笔芯含2只次品。
步骤 2：计算顾客买下该盒笔芯的概率
顾客买下该盒笔芯的概率为P(A)。根据题意，顾客买下该盒笔芯的条件是随机察看的5只笔芯中没有次品。因此，P(A) = P(B) + P(C) * P(无次品|C) + P(D) * P(无次品|D)。
步骤 3：计算P(无次品|C)和P(无次品|D)
P(无次品|C)表示在该盒笔芯含1只次品的条件下，随机察看的5只笔芯中没有次品的概率。P(无次品|D)表示在该盒笔芯含2只次品的条件下，随机察看的5只笔芯中没有次品的概率。
步骤 4：计算P(A)
P(A) = P(B) + P(C) * P(无次品|C) + P(D) * P(无次品|D) = 0.7 + 0.2 * (49/50)^5 + 0.1 * (48/50)^5 = 0.7 + 0.2 * 0.8051 + 0.1 * 0.6398 = 0.7 + 0.1610 + 0.0640 = 0.9250。
步骤 5：计算在顾客买下的一箱中确实没有次品的概率
在顾客买下的一箱中确实没有次品的概率为P(B|A)。根据贝叶斯公式，P(B|A) = P(A|B) * P(B) / P(A) = 1 * 0.7 / 0.9250 = 0.7568。