题目
23.定积分 (int )_(-1)^1(x+(sin )^3xcos x)(e)^|x|dx 的值是 ()-|||-A. (e)^2+2 B.2 C.0 D.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数的奇偶性
函数 $f(x) = (x + \sin^3 x \cos x)e^{|x|}$，我们首先检查其奇偶性。注意到 $x$ 和 $\sin^3 x \cos x$ 都是奇函数，而 $e^{|x|}$ 是偶函数。因此，$f(x)$ 是奇函数，即 $f(-x) = -f(x)$。
步骤 2：利用奇函数的性质
由于 $f(x)$ 是奇函数，且积分区间 $[-1, 1]$ 关于原点对称，根据奇函数在对称区间上的积分性质，有 ${\int }_{-1}^{1} f(x) dx = 0$。
步骤 3：得出结论
根据上述分析，定积分 ${\int }_{-1}^{1}(x+{\sin }^{3}x\cos x){e}^{|x|}dx$ 的值为 0。
函数 $f(x) = (x + \sin^3 x \cos x)e^{|x|}$，我们首先检查其奇偶性。注意到 $x$ 和 $\sin^3 x \cos x$ 都是奇函数，而 $e^{|x|}$ 是偶函数。因此，$f(x)$ 是奇函数，即 $f(-x) = -f(x)$。
步骤 2：利用奇函数的性质
由于 $f(x)$ 是奇函数，且积分区间 $[-1, 1]$ 关于原点对称，根据奇函数在对称区间上的积分性质，有 ${\int }_{-1}^{1} f(x) dx = 0$。
步骤 3：得出结论
根据上述分析，定积分 ${\int }_{-1}^{1}(x+{\sin }^{3}x\cos x){e}^{|x|}dx$ 的值为 0。