下列关于内积性质中说法错误的是()。A. (alpha,beta)=(beta,alpha)B. (kalpha,kbeta)=k(alpha,beta)C. (alpha+beta,gamma)=(alpha,gamma)+(beta,gamma)D. (alpha,alpha)geq0
A. $(\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)$
B. $(k\alpha,k\beta)=k(\alpha,\beta)$
C. $(\alpha+\beta,\gamma)=(\alpha,\gamma)+(\beta,\gamma)$
D. $(\alpha,\alpha)\geq0$
题目解答
答案
解析
本题考查内积的性质,解题思路是根据内积的基本性质逐一分析每个选项。
选项A
内积具有对称性,即对于任意向量$\alpha$和$\beta$,都有$(\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)$,这是内积的基本性质之一,所以选项A说法正确。
选项B
根据内积的性质,对于任意向量$\alpha$、$\beta$和任意实数$k$,有$(k\alpha,k\beta)=k^2(\alpha,\beta)$,而不是$(k\alpha,k\beta)=k(\alpha,\beta)$。
下面进行详细推导:
设向量$\alpha=(x_1,y_1)$,$\beta=(x_2,y_2)$,则$k\alpha=(kx_1,ky_1)$,$k\beta=(kx_2,ky_2)$。
根据内积的坐标运算公式$(\vec{a},\vec{b}) = a_1b_1 + a_2b_2$(其中$\vec{a}=(a_1,a_2)$,$\vec{b}=(b_1,b_2)$)可得:
$(k\alpha,k\beta)=(kx_1,ky_1)\cdot(kx_2,ky_2)=kx_1\cdot kx_2 + ky_1\cdot ky_2=k^2(x_1x_2 + y_1y_2)=k^2(\alpha,\beta)$
所以选项B说法错误。
选项C
内积具有线性性质,即对于任意向量$\alpha$、$\beta$和$\gamma$,都有$(\alpha+\beta,\gamma)=(\alpha,\gamma)+(\beta,\gamma)$,这也是内积的基本性质之一,所以选项C说法正确。
选项D
对于任意向量$\alpha$,都有$(\alpha,\alpha)\geq0$,当且仅当$\alpha = \vec{0}$时,$(\alpha,\alpha)=0$,这同样是内积的基本性质之一,所以选项D说法正确。