题目
填空题（共5题，25.0分）11.（5.0分）函数连续性设函数f(x)=}(sin x)/(x)&x<0a-2x&xgeq0在点x=0连续，则a=____.
填空题（共5题，25.0分）
11.（5.0分）函数连续性
设函数$f(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}{x}&x<0\\a-2x&x\geq0\end{cases}$在点x=0连续，则a=____.
题目解答
答案
为了使函数 $ f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x} & x < 0 \\ a - 2x & x \geq 0 \end{cases} $ 在 $ x = 0 $ 处连续，需满足：
\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) \]
计算左极限：
\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} = 1 \]
计算右极限和函数值：
\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = a \]
由连续性条件得：
\[ 1 = a \]
**答案：** $\boxed{1}$
解析
步骤 1：计算左极限
函数在 $x < 0$ 时的表达式为 $\frac{\sin x}{x}$，因此我们需要计算当 $x$ 趋近于 $0$ 的左侧时，函数的极限值。根据已知的极限公式，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，所以左极限为 $1$。
步骤 2：计算右极限和函数值
函数在 $x \geq 0$ 时的表达式为 $a - 2x$，因此我们需要计算当 $x$ 趋近于 $0$ 的右侧时，函数的极限值。由于 $x$ 趋近于 $0$，$-2x$ 趋近于 $0$，所以右极限为 $a$。
步骤 3：应用连续性条件
为了使函数在 $x = 0$ 处连续，左极限、右极限和函数值在 $x = 0$ 处必须相等。因此，我们有 $1 = a$。
函数在 $x < 0$ 时的表达式为 $\frac{\sin x}{x}$，因此我们需要计算当 $x$ 趋近于 $0$ 的左侧时，函数的极限值。根据已知的极限公式，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，所以左极限为 $1$。
步骤 2：计算右极限和函数值
函数在 $x \geq 0$ 时的表达式为 $a - 2x$，因此我们需要计算当 $x$ 趋近于 $0$ 的右侧时，函数的极限值。由于 $x$ 趋近于 $0$，$-2x$ 趋近于 $0$，所以右极限为 $a$。
步骤 3：应用连续性条件
为了使函数在 $x = 0$ 处连续，左极限、右极限和函数值在 $x = 0$ 处必须相等。因此，我们有 $1 = a$。