题目

判断题（共5题，60.0分）1.（12.0分）(dy)/(dx)=xy^2是可分离变量的微分方程.A 对B 错

判断题（共5题，60.0分） 1.（12.0分）$\frac{dy}{dx}=xy^{2}$是可分离变量的微分方程. A 对 B 错

题目解答

答案

为了判断微分方程 $\frac{dy}{dx} = xy^2$ 是否是可分离变量的微分方程，我们需要理解可分离变量的微分方程的定义。一个微分方程是可分离变量的，如果它可以写成 $f(y) \, dy = g(x) \, dx$ 的形式，其中 $f(y)$ 是 $y$ 的函数，而 $g(x)$ 是 $x$ 的函数。 给定的微分方程是 $\frac{dy}{dx} = xy^2$。我们可以将这个方程重写为： \[ \frac{1}{y^2} \, dy = x \, dx \] 在这个形式中，左边是 $y$ 的函数乘以 $dy$，右边是 $x$ 的函数乘以 $dx$。因此，微分方程 $\frac{dy}{dx} = xy^2$ 确实是可分离变量的。 所以，正确答案是： \[ \boxed{A} \]

解析

可分离变量微分方程的判断核心在于能否将方程整理成$f(y) \, dy = g(x) \, dx$的形式。本题中，方程$\frac{dy}{dx} = xy^2$可通过移项将$y$的项与$x$的项分离，从而验证其可分离性。

  1. 方程变形：
    将原方程$\frac{dy}{dx} = xy^2$两边同乘$dx$，得到：
    $dy = xy^2 \, dx$
    再两边同除以$y^2$，整理得：
    $\frac{1}{y^2} \, dy = x \, dx$

  2. 验证分离性：
    左侧$\frac{1}{y^2} \, dy$仅含$y$的函数，右侧$x \, dx$仅含$x$的函数，符合可分离变量的定义。