题目
11. 判断题lim_(xarrowinfty)(1+x)^dfrac(1{x)}=e.A. 对B. 错
11. 判断题\lim_{x\rightarrow\infty}(1+x)^{\dfrac{1}{x}}=e.
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：理解极限表达式
给定的极限表达式是 {\lim}_{x{\rightarrow}{\infty}}(1+x)^{\dfrac{1}{x}}。我们需要判断这个极限是否等于 e。
步骤 2：应用极限的性质
我们知道，当 x 趋向于无穷大时，(1+x)^{\dfrac{1}{x}} 的极限形式与 e 的定义相关。e 的定义是 {\lim}_{n{\rightarrow}{\infty}}(1+\dfrac{1}{n})^{n}。因此，我们需要将给定的极限表达式转换成与 e 的定义相似的形式。
步骤 3：转换极限表达式
将给定的极限表达式 {\lim}_{x{\rightarrow}{\infty}}(1+x)^{\dfrac{1}{x}} 转换成 {\lim}_{x{\rightarrow}{\infty}}(1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}})^{\dfrac{1}{x}}。这与 e 的定义 {\lim}_{n{\rightarrow}{\infty}}(1+\dfrac{1}{n})^{n} 相似，其中 n = \dfrac{1}{x}。当 x 趋向于无穷大时，\dfrac{1}{x} 趋向于 0，因此 n 趋向于无穷大。所以，给定的极限表达式等于 e。
给定的极限表达式是 {\lim}_{x{\rightarrow}{\infty}}(1+x)^{\dfrac{1}{x}}。我们需要判断这个极限是否等于 e。
步骤 2：应用极限的性质
我们知道，当 x 趋向于无穷大时，(1+x)^{\dfrac{1}{x}} 的极限形式与 e 的定义相关。e 的定义是 {\lim}_{n{\rightarrow}{\infty}}(1+\dfrac{1}{n})^{n}。因此，我们需要将给定的极限表达式转换成与 e 的定义相似的形式。
步骤 3：转换极限表达式
将给定的极限表达式 {\lim}_{x{\rightarrow}{\infty}}(1+x)^{\dfrac{1}{x}} 转换成 {\lim}_{x{\rightarrow}{\infty}}(1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}})^{\dfrac{1}{x}}。这与 e 的定义 {\lim}_{n{\rightarrow}{\infty}}(1+\dfrac{1}{n})^{n} 相似，其中 n = \dfrac{1}{x}。当 x 趋向于无穷大时，\dfrac{1}{x} 趋向于 0，因此 n 趋向于无穷大。所以，给定的极限表达式等于 e。