4.(12分)求向量组a_(1)=(2,1,1,1)^T,a_(2)=(-1,1,7,10)^T,a_(3)=(3,1,-1,-2)^T,a_(4)=(8,5,9,11)^T,的秩及一个最大无关组，并将其余向量用此最大线性无关组线性表示.

为了求向量组 $a_1 = (2, 1, 1, 1)^T$, $a_2 = (-1, 1, 7, 10)^T$, $a_3 = (3, 1, -1, -2)^T$, $a_4 = (8, 5, 9, 11)^T$ 的秩及一个最大无关组，并将剩余向量用此最大线性无关组线性表示，我们可以按照以下步骤进行： 1. **将向量组构成矩阵**: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 5 \\ 1 & 7 & -1 & 9 \\ 1 & 10 & -2 & 11 \end{pmatrix} \] 2. **对矩阵进行初等行变换，化为行阶梯形**: \[ \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 5 \\ 1 & 7 & -1 & 9 \\ 1 & 10 & -2 & 11 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_1 \leftrightarrow r_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 5 \\ 2 & -1 & 3 & 8 \\ 1 & 7 & -1 & 9 \\ 1 & 10 & -2 & 11 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2 - 2r_1, r_3 - r_1, r_4 - r_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & -3 & 1 & -2 \\ 0 & 6 & -2 & 4 \\ 0 & 9 & -3 & 6 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3 + 2r_2, r_4 + 3r_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & -3 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 3. **确定矩阵的秩和最大无关组**: 矩阵的行阶梯形为: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & -3 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 矩阵的秩为 2，即向量组的秩为 2。最大无关组为对应行阶梯形中非零行的首非零元所在的列，即第 1 列和第 2 列。因此，最大无关组为 $a_1$ 和 $a_2$。 4. **将剩余向量用最大无关组线性表示**: 从行阶梯形中，我们可以得到方程组: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + 5x_4 = 0 \\ -3x_2 + x_3 - 2x_4 = 0 \end{cases} \] 令 $x_3 = 1$，$x_4 = 0$，解得 $x_1 = -\frac{2}{3}$，$x_2 = \frac{1}{3}$。即: \[ a_3 = -\frac{2}{3}a_1 + \frac{1}{3}a_2 + 0 \cdot a_3 + 0 \cdot a_4 \implies a_3 = -\frac{2}{3}a_1 + \frac{1}{3}a_2 \] 令 $x_3 = 0$，$x_4 = 1$，解得 $x_1 = -\frac{13}{3}$，$x_2 = \frac{2}{3}$。即: \[ a_4 = -\frac{13}{3}a_1 + \frac{2}{3}a_2 + 0 \cdot a_3 + 0 \cdot a_4 \implies a_4 = -\frac{13}{3}a_1 + \frac{2}{3}a_2 \] 因此，向量组的秩为 2，一个最大无关组为 $a_1$ 和 $a_2$，剩余向量用最大无关组线性表示为: \[ a_3 = -\frac{2}{3}a_1 + \frac{1}{3}a_2, \quad a_4 = -\frac{13}{3}a_1 + \frac{2}{3}a_2 \] 最终答案为: \[ \boxed{2, \{a_1, a_2\}, a_3 = -\frac{2}{3}a_1 + \frac{1}{3}a_2, a_4 = -\frac{13}{3}a_1 + \frac{2}{3}a_2} \]