题目
13、填空 设D:x^2+y^2leq4,ygeq0，则二重积分iintlimits_(D)sin(x^3y^2)dsigma=_____.
13、填空 设$D:x^{2}+y^{2}\leq4,y\geq0$，则二重积分$\iint\limits_{D}\sin(x^{3}y^{2})d\sigma=$_____.
题目解答
答案
将区域 $D$ 转换为极坐标系，其中 $0 \leq r \leq 2$，$0 \leq \theta \leq \pi$。被积函数变为 $\sin(r^5 \cos^3 \theta \sin^2 \theta)$。由于 $\sin(r^5 \cos^3 \theta \sin^2 \theta)$ 关于 $\theta$ 是奇函数（即 $\sin(r^5 \cos^3 (\pi - \theta) \sin^2 (\pi - \theta)) = -\sin(r^5 \cos^3 \theta \sin^2 \theta)$），在对称区间 $[0, \pi]$ 上积分为零。因此，二重积分值为 $\boxed{0}$。
解析
考查要点：本题主要考查二重积分的对称性应用，特别是利用被积函数的奇偶性简化计算。
解题核心思路：
- 区域对称性分析：积分区域$D$是上半圆，关于$y$轴对称。
- 被积函数性质：将被积函数$\sin(x^3 y^2)$转换为极坐标形式后，分析其关于$\theta$的奇偶性。
- 奇函数积分性质：若被积函数在对称区间上为奇函数，则积分结果为$0$。
破题关键点：
- 极坐标变换简化区域表达。
- 观察被积函数在$\theta$替换为$\pi - \theta$时的符号变化，判断其奇偶性。
将区域$D$转换为极坐标系：
- $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，雅可比行列式为$r$，故$d\sigma = r \, dr \, d\theta$。
- 积分区域变为$0 \leq r \leq 2$，$0 \leq \theta \leq \pi$。
被积函数转换为极坐标形式：
$\sin(x^3 y^2) = \sin\left( (r\cos\theta)^3 (r\sin\theta)^2 \right) = \sin\left( r^5 \cos^3\theta \sin^2\theta \right).$
奇函数性质分析：
令$\theta' = \pi - \theta$，则$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$，$\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$。代入被积函数得：
$\sin\left( r^5 \cos^3(\pi - \theta) \sin^2(\pi - \theta) \right) = \sin\left( -r^5 \cos^3\theta \sin^2\theta \right) = -\sin\left( r^5 \cos^3\theta \sin^2\theta \right).$
对称区间积分：
被积函数关于$\theta$是奇函数，积分区间$[0, \pi]$关于$\theta = \pi/2$对称，因此积分结果为$0$。