题目
一厚度为 200mm的平行平板玻璃(设 n=1.5),下面放一直径为 1mm的金属片。若在玻璃板上盖一圆形纸片,要求在玻璃板上方任何方向上都看不到该金属片,问纸片最小直径应为多少?
一厚度为 200mm的平行平板玻璃(设 n=1.5),下面放一直径为 1mm的金属片。若在玻璃板上盖一圆形纸片,要求在玻璃板上方任何方向上都看不到该金属片,问纸片最小直径应为多少?
题目解答
答案
解:令纸片最小半径为 x,则根据全反射原理, 光束由玻璃射向空气中时满足入射角度大于或等于全反射临界角时均会发生全反射,而这里正是由于这个原因导致在玻璃板上方看不到金属片。而全反射临界角求取方法为:(1)其中 n2=1, n1=1.5,同时根据几何关系, 利用平板厚度和纸片以及金属片的半径得到全反射临界角的计算方法为:(2)联立(1)式和(2)式可以求出纸片最小直径 x=179.385mm, 所以纸片最小直径为 358.77mm。
解析
步骤 1：确定全反射临界角
全反射临界角 \(\theta_c\) 可以通过公式 \(\sin \theta_c = \frac{n_2}{n_1}\) 计算，其中 \(n_1\) 是玻璃的折射率，\(n_2\) 是空气的折射率。对于本题，\(n_1 = 1.5\)，\(n_2 = 1\)，因此 \(\sin \theta_c = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}\)。由此可得 \(\theta_c = \arcsin(\frac{2}{3})\)。
步骤 2：确定纸片的最小半径
根据几何关系，当光线从玻璃射向空气时，如果入射角大于或等于全反射临界角 \(\theta_c\)，则会发生全反射。设纸片的最小半径为 \(x\)，金属片的半径为 \(r = 0.5\) mm，玻璃板的厚度为 \(d = 200\) mm。根据全反射条件，可以得到 \(\tan \theta_c = \frac{r}{d}\)。因此，纸片的最小半径 \(x\) 可以通过公式 \(x = d \tan \theta_c + r\) 计算。
步骤 3：计算纸片的最小直径
根据步骤 2 中的公式，代入 \(\theta_c = \arcsin(\frac{2}{3})\)，\(d = 200\) mm，\(r = 0.5\) mm，可以计算出纸片的最小半径 \(x\)。然后，纸片的最小直径为 \(2x\)。
全反射临界角 \(\theta_c\) 可以通过公式 \(\sin \theta_c = \frac{n_2}{n_1}\) 计算，其中 \(n_1\) 是玻璃的折射率，\(n_2\) 是空气的折射率。对于本题，\(n_1 = 1.5\)，\(n_2 = 1\)，因此 \(\sin \theta_c = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}\)。由此可得 \(\theta_c = \arcsin(\frac{2}{3})\)。
步骤 2：确定纸片的最小半径
根据几何关系，当光线从玻璃射向空气时，如果入射角大于或等于全反射临界角 \(\theta_c\)，则会发生全反射。设纸片的最小半径为 \(x\)，金属片的半径为 \(r = 0.5\) mm，玻璃板的厚度为 \(d = 200\) mm。根据全反射条件，可以得到 \(\tan \theta_c = \frac{r}{d}\)。因此，纸片的最小半径 \(x\) 可以通过公式 \(x = d \tan \theta_c + r\) 计算。
步骤 3：计算纸片的最小直径
根据步骤 2 中的公式，代入 \(\theta_c = \arcsin(\frac{2}{3})\)，\(d = 200\) mm，\(r = 0.5\) mm，可以计算出纸片的最小半径 \(x\)。然后，纸片的最小直径为 \(2x\)。