题目

将(z)=dfrac (2z-1)((z+1)(z-2)) 在圆环域 1<|z|<2 内展开成洛朗级数。

将 在圆环域  1<|z|<2  内展开成洛朗级数。

题目解答

答案

首先，将分式分解为部分分式：

将两边同乘 (z + 1)(z - 2) 后，得到

2z - 1 = A(z - 2) + B(z + 1)

展开并整理得：

2z - 1 = (A + B)z + (-2A + B)

通过比较系数，得到方程组：

A + B = 2

-2A + B = -1

解这个方程组，得 A = 1，B = 1。因此

接下来，我们在圆环域 1 < |z| < 2 内对每一项分别展开成洛朗级数。

首先考虑的展开。由于 1 < |z|，可以将 写为

利用几何级数展开公式（当 |w| < 1 时），得到

然后考虑的展开。由于 |z| < 2，可以将 写为

利用几何级数展开公式，得到

将这两个部分相加，得到 f(z) 在 1 < |z| < 2 内的洛朗级数展开为

解析

考查要点：本题主要考查在给定圆环域内将有理分式函数展开为洛朗级数的能力，涉及部分分式分解和几何级数展开法的应用。

解题核心思路：

  1. 部分分式分解：将原分式拆分为简单分式的和，便于分别展开。
  2. 分区域展开：根据圆环域 $1<|z|<2$ 的特性，对每个简单分式选择合适的展开方式：
    • $\dfrac{1}{z+1}$：利用 $|z|>1$，改写为 $\dfrac{1}{z} \cdot \dfrac{1}{1 - (-1/z)}$，展开为负幂级数。
    • $\dfrac{1}{z-2}$：利用 $|z|<2$，改写为 $-\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{1 - z/2}$，展开为正幂级数。

破题关键：正确选择展开形式，确保展开式在对应区域内的收敛性。

步骤1：部分分式分解

将原式分解为：
$\dfrac{2z-1}{(z+1)(z-2)} = \dfrac{A}{z+1} + \dfrac{B}{z-2}$
通过解方程组 $A + B = 2$ 和 $-2A + B = -1$，得 $A = 1$，$B = 1$，故：
$\dfrac{2z-1}{(z+1)(z-2)} = \dfrac{1}{z+1} + \dfrac{1}{z-2}$

步骤2：展开 $\dfrac{1}{z+1}$

在 $1 < |z|$ 时，改写为：
$\dfrac{1}{z+1} = \dfrac{1}{z} \cdot \dfrac{1}{1 - (-1/z)} = \dfrac{1}{z} \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\dfrac{1}{z}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \dfrac{1}{z^{n+1}}$

步骤3：展开 $\dfrac{1}{z-2}$

在 $|z| < 2$ 时，改写为：
$\dfrac{1}{z-2} = -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{1 - z/2} = -\dfrac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\dfrac{z}{2}\right)^n = -\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{2^{n+1}} z^n$

步骤4：合并结果

将两部分相加，得到洛朗级数：
$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \dfrac{1}{z^{n+1}} - \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{2^{n+1}} z^n$