题目

1.判断题若v(x,y)是u(x,y)的共轭调和函数，则u(x,y)也是v(x,y)的共轭调和函数。A 对B 错

1.判断题 若v(x,y)是u(x,y)的共轭调和函数，则u(x,y)也是v(x,y)的共轭调和函数。 A 对 B 错

题目解答

答案

要判断“若 $ v(x, y) $ 是 $ u(x, y) $ 的共轭调和函数，则 $ u(x, y) $ 也是 $ v(x, y) $ 的共轭调和函数”这一陈述的真假，我们需要理解共轭调和函数的定义和性质。 如果 $ u(x, y) $ 和 $ v(x, y) $ 是两个实值函数，满足柯西-黎曼方程： \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad \text{和} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}, \] 则称 $ v(x, y) $ 是 $ u(x, y) $ 的共轭调和函数。 现在，让我们检查 $ u(x, y) $ 是否是 $ v(x, y) $ 的共轭调和函数。为此，$ u(x, y) $ 和 $ v(x, y) $ 必须满足当 $ u $ 和 $ v $ 的角色互换时的柯西-黎曼方程： \[ \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y} \quad \text{和} \quad \frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{\partial u}{\partial x}. \] 从原始的柯西-黎曼方程，我们有： \[ \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x} \quad \text{和} \quad \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y}. \] 将这些与 $ u $ 是 $ v $ 的共轭调和函数的柯西-黎曼方程进行比较，我们看到： \[ \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y} \quad \text{和} \quad \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x} \] 与 \[ \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y} \quad \text{和} \quad \frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{\partial u}{\partial x} \] 是矛盾的。 因此，如果 $ v(x, y) $ 是 $ u(x, y) $ 的共轭调和函数，那么 $ u(x, y) $ 不是 $ v(x, y) $ 的共轭调和函数。 答案是 $\boxed{B}$。

解析

共轭调和函数的定义基于柯西-黎曼方程。若$u(x,y)$和$v(x,y)$满足：
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x},$
则称$v$是$u$的共轭调和函数。
关键点在于，若交换$u$和$v$的角色，新的柯西-黎曼方程要求：
$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y}, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{\partial u}{\partial x}.$
但原方程中$\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y}$，与上述要求矛盾，因此互为共轭调和函数的对称性不成立。

  1. 原条件分析
    已知$v$是$u$的共轭调和函数，即：
    $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.$

  2. 验证$u$是否为$v$的共轭调和函数
    若$u$是$v$的共轭调和函数，需满足：
    $\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y}, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{\partial u}{\partial x}.$

  3. 矛盾分析
    根据原条件，$\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y}$，而新的方程要求$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y}$，两者矛盾。同理，$\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x}$与原条件中的$\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x}$看似一致，但结合其他方程可知整体不成立。

结论：原命题错误，答案为$\boxed{B}$。