根据数列极限的定义证明：(1) lim_(n to infty) (1)/(n^2) = 0;(2) lim_(n to infty) (3n+1)/(2n+1) = (3)/(2);

我们来根据数列极限的严格定义（即 $\varepsilon$-$N$ 定义）来逐题证明这两个极限。

数列极限的定义回顾：

数列 $\{a_n\}$ 的极限是 $L$，记作
$\lim_{n \to \infty} a_n = L,$
如果对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，都存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有
$|a_n - L| < \varepsilon.$

（1）证明：$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$

证明过程：

我们要证明：对任意 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，
$\left| \frac{1}{n^2} - 0 \right| = \frac{1}{n^2} < \varepsilon.$

我们来解这个不等式：
$\frac{1}{n^2} < \varepsilon \quad \Rightarrow \quad n^2 > \frac{1}{\varepsilon} \quad \Rightarrow \quad n > \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}.$

因此，只要取正整数 $N$ 满足：
$N > \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}},$
例如取 $N = \left\lfloor \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} \right\rfloor + 1$，那么当 $n > N$ 时，就有 $n > \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}$，从而
$\frac{1}{n^2} < \varepsilon.$

这就说明：
$\left| \frac{1}{n^2} - 0 \right| < \varepsilon \quad \text{当 } n > N.$

由极限定义，得证：
$\boxed{\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0}$

（2）证明：$\lim_{n \to \infty} \frac{3n+1}{2n+1} = \frac{3}{2}$

证明过程：

我们要求证：对任意 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，
$\left| \frac{3n+1}{2n+1} - \frac{3}{2} \right| < \varepsilon.$

我们先化简这个差值：

$\left| \frac{3n+1}{2n+1} - \frac{3}{2} \right| = \left| \frac{2(3n+1) - 3(2n+1)}{2(2n+1)} \right| = \left| \frac{6n + 2 - 6n - 3}{2(2n+1)} \right| = \left| \frac{-1}{2(2n+1)} \right| = \frac{1}{2(2n+1)}.$

所以我们需要：
$\frac{1}{2(2n+1)} < \varepsilon.$

解这个不等式：
$2(2n+1) > \frac{1}{\varepsilon} \quad \Rightarrow \quad 4n + 2 > \frac{1}{\varepsilon} \quad \Rightarrow \quad 4n > \frac{1}{\varepsilon} - 2 \quad \Rightarrow \quad n > \frac{1}{4} \left( \frac{1}{\varepsilon} - 2 \right).$

注意：当 $\varepsilon$ 很小时，$\frac{1}{\varepsilon}$ 很大，右边可能是负数，但我们要的是正整数 $N$，所以可以取：
$N > \frac{1}{4} \left( \frac{1}{\varepsilon} - 2 \right),$
更稳妥地，我们可以取：
$N = \left\lfloor \frac{1}{4\varepsilon} \right\rfloor + 1 \quad \text{（因为 } \frac{1}{4}( \frac{1}{\varepsilon} - 2 ) < \frac{1}{4\varepsilon} \text{）}$

这样当 $n > N$ 时，就有：
$\frac{1}{2(2n+1)} < \varepsilon \quad \Rightarrow \quad \left| \frac{3n+1}{2n+1} - \frac{3}{2} \right| < \varepsilon.$

因此，根据极限定义，得证：
$\boxed{\lim_{n \to \infty} \frac{3n+1}{2n+1} = \frac{3}{2}}$

总结：

（1）$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$，通过控制 $n > \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}$ 实现；
（2）$\lim_{n \to \infty} \frac{3n+1}{2n+1} = \frac{3}{2}$，通过化简误差项并控制 $n$ 足够大实现。

两题均严格依据 $\varepsilon$-$N$ 定义完成证明。