求下列不定积分int dfrac ({x)^2}(sqrt {4-{x)^2}}dx

考查要点：本题主要考查三角替换法在不定积分中的应用，以及利用二倍角公式简化积分表达式的能力。

解题核心思路：
当被积函数中出现$\sqrt{a^2 - x^2}$的形式时，通常采用三角替换，令$x = a \sin t$，将根号内的表达式转化为$\cos t$的形式，从而简化积分。
本题中，通过替换$x = 2 \sin t$，将原积分转化为关于$t$的三角函数积分，再利用二倍角公式将$\sin^2 t$展开，最终通过积分和反三角函数代换得到结果。

破题关键点：

1. 正确选择替换变量，令$x = 2 \sin t$，并确定$t$的范围。
2. 准确代入并化简积分表达式，注意分母和$dx$的替换。
3. 灵活应用二倍角公式简化被积函数。
4. 反代换回原变量，将结果用$x$表示。

步骤1：三角替换

令$x = 2 \sin t$，则$t \in \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$，此时：

• $\sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - 4 \sin^2 t} = 2 \cos t$
• $dx = 2 \cos t \, dt$

步骤2：代入积分

原积分变为：
$\begin{aligned}\int \frac{x^2}{\sqrt{4 - x^2}} dx &= \int \frac{(2 \sin t)^2}{2 \cos t} \cdot 2 \cos t \, dt \\&= \int \frac{4 \sin^2 t}{2 \cos t} \cdot 2 \cos t \, dt \\&= \int 4 \sin^2 t \, dt\end{aligned}$

步骤3：应用二倍角公式

利用$\sin^2 t = \dfrac{1 - \cos 2t}{2}$，积分化简为：
$\begin{aligned}\int 4 \sin^2 t \, dt &= \int 4 \cdot \frac{1 - \cos 2t}{2} \, dt \\&= 2 \int (1 - \cos 2t) \, dt \\&= 2 \left( \int 1 \, dt - \int \cos 2t \, dt \right)\end{aligned}$

步骤4：逐项积分

计算得：
$\begin{aligned}2 \left( \int 1 \, dt - \int \cos 2t \, dt \right) &= 2 \left( t - \frac{\sin 2t}{2} \right) + C \\&= 2t - \sin 2t + C\end{aligned}$

步骤5：反代换回$x$

由$x = 2 \sin t$得$t = \arcsin \dfrac{x}{2}$，且$\sin 2t = 2 \sin t \cos t = \dfrac{x}{2} \cdot \sqrt{1 - \dfrac{x^2}{4}}$，代入得：
$\begin{aligned}2t - \sin 2t + C &= 2 \arcsin \dfrac{x}{2} - \dfrac{x}{2} \sqrt{4 - x^2} + C\end{aligned}$