题目
(20分)平行板电容器填充的两层介质,介质参数分别为ε1,ε1和ε1,ε1,外加电压为ε1。设极板形状为边长为ε1的正方形。若不考虑边际效应,试求:a) 两介质分界面上的自由电荷与极化电荷面密度b) 电容器两极板间的漏电导c) 电容器的电容(原题中本问为:求该电容器的损耗功率)ε1
(20分)平行板电容器填充的两层介质,介质参数分别为
,
和
,
,外加电压为
。设极板形状为边长为
的正方形。若不考虑边际效应,试求:
,和,,外加电压为。设极板形状为边长为的正方形。若不考虑边际效应,试求:a) 两介质分界面上的自由电荷与极化电荷面密度
b) 电容器两极板间的漏电导
c) 电容器的电容(原题中本问为:求该电容器的损耗功率)
题目解答
答案
解:a) 设垂直平行板电容器极板向下的方向为z轴正向,根据电流密度矢量的边界条件,分析可知介质1和介质2的电流密度矢量相等,方向为z轴正向,设为J,则有
求得
介质1和介质2中的电位移矢量只有z向分量,且为
自由电荷面密度为
极化电荷面密度为
b) 电容器两极板间的漏电导为
c) 由静电场和恒定电场的类比可得电容器的电容为
解析
步骤 1：确定电场强度
根据题目条件，电容器填充了两层介质，介质参数分别为ε1和ε2，外加电压为U。设极板形状为边长为a的正方形。不考虑边际效应，电场强度E1和E2分别在两层介质中，且满足电位移矢量的边界条件。电场强度E1和E2与介质的电导率σ1和σ2有关，根据电流密度矢量的边界条件，介质1和介质2的电流密度矢量相等，方向为z轴正向，设为J，则有：
$U = E_1 d_1 + E_2 d_2 = \frac{1}{\sigma_1} d_1 + \frac{1}{\sigma_2} d_2$
求得：
$J = \frac{U}{\frac{d_1}{\sigma_1} + \frac{d_2}{\sigma_2}}$
步骤 2：计算电位移矢量
介质1和介质2中的电位移矢量只有z向分量，且为：
$D_1 = \varepsilon_1 E_1 = \varepsilon_1 \frac{1}{\sigma_1} = \frac{\varepsilon_1}{\sigma_1} \frac{U}{\frac{d_1}{\sigma_1} + \frac{d_2}{\sigma_2}}$
$D_2 = \varepsilon_2 E_2 = \varepsilon_2 \frac{1}{\sigma_2} = \frac{\varepsilon_2}{\sigma_2} \frac{U}{\frac{d_1}{\sigma_1} + \frac{d_2}{\sigma_2}}$
步骤 3：计算自由电荷与极化电荷面密度
自由电荷面密度为：
$S_f = D_1 - D_2 = \frac{\varepsilon_1}{\sigma_1} \frac{U}{\frac{d_1}{\sigma_1} + \frac{d_2}{\sigma_2}} - \frac{\varepsilon_2}{\sigma_2} \frac{U}{\frac{d_1}{\sigma_1} + \frac{d_2}{\sigma_2}}$
极化电荷面密度为：
$S_p = (D_1 - \varepsilon_0 E_1) + (D_2 - \varepsilon_0 E_2) = (\varepsilon_1 - \varepsilon_0) E_1 + (\varepsilon_2 - \varepsilon_0) E_2$
步骤 4：计算电容器两极板间的漏电导
电容器两极板间的漏电导为：
$G = \frac{1}{U} = \frac{a^2}{\frac{1}{\sigma_1} d_1 + \frac{1}{\sigma_2} d_2} = \frac{a^2 \sigma_1 \sigma_2}{\sigma_2 d_1 + \sigma_1 d_2}$
步骤 5：计算电容器的电容
由静电场和恒定电场的类比可得电容器的电容为：
$C = \frac{a^2 \varepsilon_1 \varepsilon_2}{d_1 \varepsilon_2 + d_2 \varepsilon_1}$
根据题目条件，电容器填充了两层介质，介质参数分别为ε1和ε2，外加电压为U。设极板形状为边长为a的正方形。不考虑边际效应，电场强度E1和E2分别在两层介质中，且满足电位移矢量的边界条件。电场强度E1和E2与介质的电导率σ1和σ2有关，根据电流密度矢量的边界条件，介质1和介质2的电流密度矢量相等，方向为z轴正向，设为J，则有：
$U = E_1 d_1 + E_2 d_2 = \frac{1}{\sigma_1} d_1 + \frac{1}{\sigma_2} d_2$
求得：
$J = \frac{U}{\frac{d_1}{\sigma_1} + \frac{d_2}{\sigma_2}}$
步骤 2：计算电位移矢量
介质1和介质2中的电位移矢量只有z向分量，且为：
$D_1 = \varepsilon_1 E_1 = \varepsilon_1 \frac{1}{\sigma_1} = \frac{\varepsilon_1}{\sigma_1} \frac{U}{\frac{d_1}{\sigma_1} + \frac{d_2}{\sigma_2}}$
$D_2 = \varepsilon_2 E_2 = \varepsilon_2 \frac{1}{\sigma_2} = \frac{\varepsilon_2}{\sigma_2} \frac{U}{\frac{d_1}{\sigma_1} + \frac{d_2}{\sigma_2}}$
步骤 3：计算自由电荷与极化电荷面密度
自由电荷面密度为：
$S_f = D_1 - D_2 = \frac{\varepsilon_1}{\sigma_1} \frac{U}{\frac{d_1}{\sigma_1} + \frac{d_2}{\sigma_2}} - \frac{\varepsilon_2}{\sigma_2} \frac{U}{\frac{d_1}{\sigma_1} + \frac{d_2}{\sigma_2}}$
极化电荷面密度为：
$S_p = (D_1 - \varepsilon_0 E_1) + (D_2 - \varepsilon_0 E_2) = (\varepsilon_1 - \varepsilon_0) E_1 + (\varepsilon_2 - \varepsilon_0) E_2$
步骤 4：计算电容器两极板间的漏电导
电容器两极板间的漏电导为：
$G = \frac{1}{U} = \frac{a^2}{\frac{1}{\sigma_1} d_1 + \frac{1}{\sigma_2} d_2} = \frac{a^2 \sigma_1 \sigma_2}{\sigma_2 d_1 + \sigma_1 d_2}$
步骤 5：计算电容器的电容
由静电场和恒定电场的类比可得电容器的电容为：
$C = \frac{a^2 \varepsilon_1 \varepsilon_2}{d_1 \varepsilon_2 + d_2 \varepsilon_1}$