题目
求幂级数 +dfrac ({x)^3}(3)+dfrac ({x)^5}(5)+dfrac ({x)^7}(7)+... -|||-__ __ __ 的和函数
求幂级数 
的和函数
题目解答
答案
设 
,则 
(+3分)
当
时级数
收敛, 故
所以两边积分得 
(+4分)
解析
步骤 1：定义幂级数的和函数
设幂级数 $S(x) = x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} + \dfrac{x^7}{7} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{x^{2n-1}}{2n-1}$，我们需要找到它的和函数 $S(x)$。
步骤 2：求和函数的导数
对 $S(x)$ 求导，得到 $S'(x) = 1 + x^2 + x^4 + x^6 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}$。这是一个几何级数，其和为 $\dfrac{1}{1-x^2}$，当 $|x| < 1$ 时收敛。
步骤 3：积分求和函数
由于 $S'(x) = \dfrac{1}{1-x^2}$，对 $S'(x)$ 积分得到 $S(x)$。注意到 $S(0) = 0$，因此积分常数为0。所以 $S(x) = \int \dfrac{1}{1-x^2} dx = \dfrac{1}{2} \ln \left| \dfrac{1+x}{1-x} \right| + C$。由于 $S(0) = 0$，所以 $C = 0$。
设幂级数 $S(x) = x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} + \dfrac{x^7}{7} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{x^{2n-1}}{2n-1}$，我们需要找到它的和函数 $S(x)$。
步骤 2：求和函数的导数
对 $S(x)$ 求导，得到 $S'(x) = 1 + x^2 + x^4 + x^6 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}$。这是一个几何级数，其和为 $\dfrac{1}{1-x^2}$，当 $|x| < 1$ 时收敛。
步骤 3：积分求和函数
由于 $S'(x) = \dfrac{1}{1-x^2}$，对 $S'(x)$ 积分得到 $S(x)$。注意到 $S(0) = 0$，因此积分常数为0。所以 $S(x) = \int \dfrac{1}{1-x^2} dx = \dfrac{1}{2} \ln \left| \dfrac{1+x}{1-x} \right| + C$。由于 $S(0) = 0$，所以 $C = 0$。