设Gamma为x=acost,y=asint,z=at,(0 leq t leq 2pi),则I=int_(Gamma) (z^2)/(x^2+y^2) ds=().A. (8sqrt(2))/(3)api^3B. (8sqrt(2))/(3)api^2C. (sqrt(2))/(3)api^3D. (sqrt(2))/(3)api^2

本题考查第一类曲线积分的计算。解题思路是先根据曲线的参数方程求出弧长元素 $ds$，再将曲线方程和弧长元素代入曲线积分表达式，最后进行定积分的计算。

步骤一：求弧长元素 $ds$

已知曲线$\Gamma$的参数方程为$x = a\cos t$，$y = a\sin t$，$z = at$，$(0 \leq t \leq 2\pi)$。
根据弧长元素公式$ds = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt})^2}dt$，分别对$x$，$y$，$z$求关于$t$的导数：

• $\frac{dx}{dt} = -a\sin t$
• $\frac{dy}{dt} = a\cos t$
• $\frac{dz}{dt} = a$

将上述导数代入弧长元素公式可得：
$\begin{align*}ds&=\sqrt{(-a\sin t)^2 + (a\cos t)^2 + a^2}dt\\&=\sqrt{a^2\sin^2 t + a^2\cos^2 t + a^2}dt\\&=\sqrt{a^2(\sin^2 t + \cos^2 t) + a^2}dt\end{align*}$
根据三角函数的平方关系$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$，则有：
$\begin{align*}ds&=\sqrt{a^2\times1 + a^2}dt\\&=\sqrt{2a^2}dt\\&=\sqrt{2}a dt\end{align*}$

步骤二：将曲线方程和弧长元素代入曲线积分表达式

已知曲线积分$I = \int_{\Gamma} \frac{z^2}{x^2 + y^2} ds$，将$x = a\cos t$，$y = a\sin t$，$z = at$，$ds = \sqrt{2}a dt$代入可得：
$\begin{align*}I&=\int_{0}^{2\pi} \frac{(at)^2}{(a\cos t)^2 + (a\sin t)^2} \cdot \sqrt{2}a dt\\&=\int_{0}^{2\pi} \frac{a^2t^2}{a^2\cos^2 t + a^2\sin^2 t} \cdot \sqrt{2}a dt\\&=\int_{0}^{2\pi} \frac{a^2t^2}{a^2(\cos^2 t + \sin^2 t)} \cdot \sqrt{2}a dt\end{align*}$
再根据三角函数的平方关系$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$，则有：
$\begin{align*}I&=\int_{0}^{2\pi} \frac{a^2t^2}{a^2\times1} \cdot \sqrt{2}a dt\\&=\int_{0}^{2\pi} t^2 \cdot \sqrt{2}a dt\\&=\sqrt{2}a\int_{0}^{2\pi} t^2 dt\end{align*}$

步骤三：计算定积分

根据定积分公式$\int x^n dx = \frac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C$（$n\neq -1$），对$\int_{0}^{2\pi} t^2 dt$进行计算：
$\begin{align*}\int_{0}^{2\pi} t^2 dt&=\left[\frac{1}{3}t^3\right]_{0}^{2\pi}\\&=\frac{1}{3}(2\pi)^3 - \frac{1}{3}\times0^3\\&=\frac{8}{3}\pi^3\end{align*}$
将其代入$I = \sqrt{2}a\int_{0}^{2\pi} t^2 dt$可得：
$\begin{align*}I&=\sqrt{2}a\times\frac{8}{3}\pi^3\\&=\frac{8\sqrt{2}}{3}a\pi^3\end{align*}$