已知向量组 alpha_1=} 1 0 -1 -1 。
已知向量组 $\alpha_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$，$\alpha_2=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$，$\alpha_3=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$，$\alpha_4=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$，记 $A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$，$G=(\alpha_1,\alpha_2)$。
(1) 证明：$\alpha_1,\alpha_2$ 是 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 的极大线性无关组；
(2) 求矩阵 $H$ 使得 $A=GH$，并求 $A^{10}$。
题目解答
答案
(1) 由线性无关性及表示关系，$\alpha_1, \alpha_2$ 构成极大线性无关组。
(2) 矩阵 $H = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$，
$A^{10} = 3^8 \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & -2 & 2 \\ -3 & 0 & 3 & -3 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$。
答案：
(1) $\alpha_1, \alpha_2$ 是极大线性无关组。
(2) $H = \boxed{\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}}$，
$A^{10} = \boxed{3^8 \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & -2 & 2 \\ -3 & 0 & 3 & -3 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}}$。
解析
本题主要考查向量组的极大线性无关组的判定以及矩阵分解和矩阵幂的计算。
(1) 证明 $\alpha_1,\alpha_2$ 是 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 的极大线性无关组
- 证明 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性无关：
设存在一组数 $k_1,k_2$，使得 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 = 0$，即
$k_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} + k_2\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
得到方程组
$\begin{cases}k_1 + k_2 = 0 \\-k_2 = 0 \\-k_1 = 0 \\-k_1 - 2k_2 = 0\end{cases}$
由第二个方程 $-k_2 = 0$ 可得 $k_2 = 0$，将 $k_2 = 0$ 代入第一个方程 $k_1 + k_2 = 0$ 可得 $k_1 = 0$。所以方程组只有零解，即 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性无关。 - 证明 $\alpha_3,\alpha_4$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示：
设 $\alpha_3 = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2$，即
$\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = x_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} + x_2\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$
得到方程组
$\begin{cases}x_1 + x_2 = 0 \\-x_2 = -1 \\-x_1 = 1 \\-x_1 - 2x_2 = -1\end{cases}$
由第二个方程 $-x_2 = -1$ 可得 $x_2 = 1$，将 $x_2 = 1$ 代入第一个方程 $x_1 + x_2 = 0$ 可得 $x_1 = -1$。经检验，$x_1 = -1,x_2 = 1$ 满足第三个和第四个方程，所以 $\alpha_3 = -\alpha_1 + \alpha_2$。
设 $\alpha_4 = y_1\alpha_1 + y_2\alpha_2$，即
$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = y_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} + y_2\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$
得到方程组
$\begin{cases}y_1 + y_2 = 0 \\-y_2 = 1 \\-y_1 = -1 \\-y_1 - 2y_2 = 1\end{cases}$
由第二个方程 $-y_2 = 1$ 可得 $y_2 = -1$，将 $y_2 = -1$ 代入第一个方程 $y_1 + y_2 = 0$ 可得 $y_1 = 1$。经检验，$y_1 = 1,y_2 = -1$ 满足第三个和第四个方程，所以 $\alpha_4 = \alpha_1 - \alpha_2$。
由于 $\alpha_3,\alpha_4$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示，且 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性无关，所以 $\alpha_1,\alpha_2$ 是 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 的极大线性无关组。
(2) 求矩阵 $H$ 使得 $A = GH$，并求 $A^{10}$
- 求矩阵 $H$：
已知 $A = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$，$G = (\alpha_1,\alpha_2)$，且 $\alpha_3 = -\alpha_1 + \alpha_2$，$\alpha_4 = \alpha_1 - \alpha_2$，则
$A = (\alpha_1,\alpha_2,-\alpha_1 + \alpha_2,\alpha_1 - \alpha_2) = (\alpha_1,\alpha_2)\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} = GH$
所以 $H = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$。 - 求 $A^{10}$：
因为 $A = GH$，所以 $A^{10} = (GH)^{10} = G(HG)^{9}H$。
先求 $HG$：
$HG = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = 3E$
其中 $E$ 为 $2$ 阶单位矩阵。
则 $(HG)^{9} = (3E)^{9} = 3^9E$。
所以 $A^{10} = G(HG)^{9}H = G(3^9E)H = 3^9GH = 3^9A$。
$3^9A = 3^9\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & -1 \\ -1 & -2 & -1 & 1 \end{pmatrix} = 3^8\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & -2 & 2 \\ -3 & 0 & 3 & -3 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$