设f(x)可导,F(x)=f(x)(1+|sinx|),则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的( )A. 充分必要条件。B. 充分条件但非必要条件。C. 必要条件但非充分条件。D. 既非充分条件又非必要条件。

步骤 1：分析F(x)在x=0处的可导性
F(x)在x=0处可导，意味着F(x)在x=0处的左导数和右导数都存在且相等。即：
\[ \lim_{x \to 0^-} \frac{F(x) - F(0)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{F(x) - F(0)}{x} \]

步骤 2：计算F(x)在x=0处的左导数和右导数
由于F(x) = f(x)(1 + |sinx|)，我们分别计算x从左侧和右侧趋近于0时的导数。
- 当x从左侧趋近于0时，|sinx| = -sinx，因此：
\[ \lim_{x \to 0^-} \frac{F(x) - F(0)}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x)(1 - \sin x) - f(0)}{x} \]
- 当x从右侧趋近于0时，|sinx| = sinx，因此：
\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{F(x) - F(0)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)(1 + \sin x) - f(0)}{x} \]

步骤 3：利用f(x)可导的性质
由于f(x)在x=0处可导，我们有：
\[ \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x} = f'(0) \]
\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x} = f'(0) \]
因此，F(x)在x=0处的左导数和右导数分别为：
\[ \lim_{x \to 0^-} \frac{F(x) - F(0)}{x} = f'(0) - f(0) \]
\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{F(x) - F(0)}{x} = f'(0) + f(0) \]

步骤 4：判断F(x)在x=0处的可导性
F(x)在x=0处可导，当且仅当：
\[ f'(0) - f(0) = f'(0) + f(0) \]
即：
\[ -f(0) = f(0) \]
因此，f(0) = 0是F(x)在x=0处可导的必要条件。同时，如果f(0) = 0，则F(x)在x=0处的左导数和右导数都等于f'(0)，因此F(x)在x=0处可导。所以，f(0) = 0也是F(x)在x=0处可导的充分条件。