x = (pi)/(2) 是函数 y = (x)/(tan x) 的( )A. 连续点B. 可去间断点C. 跳跃间断点D. 第二类间断点

本题考察函数间断点的类型判断，需结合间断点的定义及极限计算分析。

步骤1：判断间断点类型的前提——函数在该点的定义与极限

函数 $y = \frac{x}{\tan x}$ 的定义域需满足 $\tan x \neq 0$ 且 $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$），因此 $x = \frac{\pi}{2}$ 是函数的间断点（无定义）。
要确定间断点类型，需计算 $x \to \frac{\pi}{2}$ 时函数的极限：
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{x}{\tan x}$

步骤2：等价无穷小替换与极限计算

当 $x \to \frac{\pi}{2}$ 时，令 $t = \frac{\pi}{2} - x$，则 $t \to 0$，且：
$\tan x = \tan\left( \frac{\pi}{2} - t \right) = \cot t = \frac{\cos t}{\sin t}$
代入极限得：
$\lim_{t \to 0} \frac{\frac{\pi}{2} - t}{\cot t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{\pi}{2} - t}{\frac{\cos t}{\sin t}} = \lim_{t \to 0} \left( \frac{\pi}{2} - t \right) \cdot \frac{\sin t}{\cos t}$
当 $t \to 0$ 时，$\sin t \sim t$，$\cos t \to 1$，故：
$\lim_{t \to 0} \left( \frac{\pi}{2} - t \right) \cdot \frac{t}{1} = \frac{\pi}{2} \cdot 0 = 0$
即 $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{x}{\tan x} = 0$（极限存在）。

步骤3：确定间断点类型

根据间断点定义：

• 可去间断点：函数在该点无定义，但极限存在。
  本题中 $x = \frac{\pi}{2}$ 处函数无定义，但极限存在（为0），故为可去间断点。