题目
横截面为矩形的螺绕环,其间充满了磁导率为的磁介质,内外半径分别为和,厚度b,共有N匝。现通有电流I。求:(1)螺线管内的磁感应强度; (2)螺线管内储存的磁场能量。
横截面为矩形的螺绕环,其间充满了磁导率为
的磁介质,
内外半径分别为
和,厚度b,共有N匝。现通有电流I。求:(1)螺线管内的磁感应强度; (2)螺线管内储存的磁场能量。
题目解答
答案
(1) 螺线管内的磁感应强度
首先，我们知道磁感应强度 ( B ) 在磁介质中的表达式为：
其中，
是磁介质的磁导率， ( H ) 是磁场强度。对于螺线管内的磁场，我们需要考虑其产生的磁场强度 ( H )。
对于螺线管，通以电流
，其产生的磁场强度 ( H ) 可以通过安培环路定理计算：
其中， ( N ) 是螺线管的匝数， ( r ) 是距离电流元素轴线的径向距离。在螺线管内部，我们可以将 ( r ) 视为从中心轴到螺线管的半径
至
的平均值，即
。
因此，螺线管内的磁感应强度 ( B ) 为：
(2) 螺线管内储存的磁场能量
螺线管内的磁场能量密度
可以通过下式计算：
将 ( B ) 的表达式代入：
螺线管内的总磁场能量
则是将磁场能量密度乘以螺线管的体积：
螺线管的体积可以用其横截面积 ( A ) 乘以其长度 ( b ) 得到：
所以，
简化后得到：
解析
步骤 1：计算螺线管内的磁场强度
根据安培环路定理，螺线管内的磁场强度 ( H ) 可以通过下式计算：
\[ H = \frac{NI}{2\pi r} \]
其中，\( N \) 是螺线管的匝数，\( I \) 是电流，\( r \) 是距离电流元素轴线的径向距离。在螺线管内部，我们可以将 \( r \) 视为从中心轴到螺线管的半径 \( R_1 \) 至 \( R_2 \) 的平均值，即 \( r = \frac{R_1 + R_2}{2} \)。因此，螺线管内的磁场强度 \( H \) 为：
\[ H = \frac{NI}{2\pi \cdot \frac{R_1 + R_2}{2}} = \frac{NI}{\pi (R_1 + R_2)} \]
步骤 2：计算螺线管内的磁感应强度
磁感应强度 \( B \) 在磁介质中的表达式为：
\[ B = \mu H \]
其中，\( \mu \) 是磁介质的磁导率。将 \( H \) 的表达式代入，得到：
\[ B = \mu \cdot \frac{NI}{\pi (R_1 + R_2)} \]
步骤 3：计算螺线管内储存的磁场能量
螺线管内的磁场能量密度 \( u_B \) 可以通过下式计算：
\[ u_B = \frac{B^2}{2\mu} \]
将 \( B \) 的表达式代入，得到：
\[ u_B = \frac{\left(\mu \cdot \frac{NI}{\pi (R_1 + R_2)}\right)^2}{2\mu} = \frac{\mu N^2 I^2}{2\pi^2 (R_1 + R_2)^2} \]
螺线管内的总磁场能量 \( W_B \) 是将磁场能量密度乘以螺线管的体积：
\[ W_B = u_B \cdot \text{体积} \]
螺线管的体积可以用其横截面积 \( A \) 乘以其长度 \( b \) 得到：
\[ A = \pi (R_2^2 - R_1^2) \]
所以，
\[ W_B = \frac{\mu N^2 I^2}{2\pi^2 (R_1 + R_2)^2} \cdot \pi (R_2^2 - R_1^2) \cdot b \]
简化后得到：
\[ W_B = \frac{\mu N^2 I^2 b (R_2^2 - R_1^2)}{2 (R_1 + R_2)^2} \]
根据安培环路定理，螺线管内的磁场强度 ( H ) 可以通过下式计算：
\[ H = \frac{NI}{2\pi r} \]
其中，\( N \) 是螺线管的匝数，\( I \) 是电流，\( r \) 是距离电流元素轴线的径向距离。在螺线管内部，我们可以将 \( r \) 视为从中心轴到螺线管的半径 \( R_1 \) 至 \( R_2 \) 的平均值，即 \( r = \frac{R_1 + R_2}{2} \)。因此，螺线管内的磁场强度 \( H \) 为：
\[ H = \frac{NI}{2\pi \cdot \frac{R_1 + R_2}{2}} = \frac{NI}{\pi (R_1 + R_2)} \]
步骤 2：计算螺线管内的磁感应强度
磁感应强度 \( B \) 在磁介质中的表达式为：
\[ B = \mu H \]
其中，\( \mu \) 是磁介质的磁导率。将 \( H \) 的表达式代入，得到：
\[ B = \mu \cdot \frac{NI}{\pi (R_1 + R_2)} \]
步骤 3：计算螺线管内储存的磁场能量
螺线管内的磁场能量密度 \( u_B \) 可以通过下式计算：
\[ u_B = \frac{B^2}{2\mu} \]
将 \( B \) 的表达式代入，得到：
\[ u_B = \frac{\left(\mu \cdot \frac{NI}{\pi (R_1 + R_2)}\right)^2}{2\mu} = \frac{\mu N^2 I^2}{2\pi^2 (R_1 + R_2)^2} \]
螺线管内的总磁场能量 \( W_B \) 是将磁场能量密度乘以螺线管的体积：
\[ W_B = u_B \cdot \text{体积} \]
螺线管的体积可以用其横截面积 \( A \) 乘以其长度 \( b \) 得到：
\[ A = \pi (R_2^2 - R_1^2) \]
所以，
\[ W_B = \frac{\mu N^2 I^2}{2\pi^2 (R_1 + R_2)^2} \cdot \pi (R_2^2 - R_1^2) \cdot b \]
简化后得到：
\[ W_B = \frac{\mu N^2 I^2 b (R_2^2 - R_1^2)}{2 (R_1 + R_2)^2} \]