一弹簧振子沿x轴作简谐振动(弹簧为原长时振动物体的位置取作x轴原点)已知振动物体最大位移为Xm=0.4m最大恢复力为Fm=0.8N，最大速度为Vm=0.8π m/s，又知t=0的出位移为+0.2m，且初速度与所选x轴方向相反。(1)求振动能量；(2)求此振动的表达式。

考查要点：本题主要考查简谐振动的能量计算和振动方程的建立，涉及振幅、角频率、初相位的确定。

解题思路：

1. 振动能量：简谐振动的总能量由振幅和劲度系数决定，利用公式 $E = \frac{1}{2}kA^2$ 计算。
2. 振动方程：需确定振幅、角频率和初相位：
   • 振幅：题目直接给出最大位移 $A = X_m = 0.4 \, \text{m}$。
   • 角频率：通过最大速度公式 $v_m = A\omega$ 求得 $\omega$。
   • 初相位：根据初始位移和速度方向，结合三角函数关系确定。

破题关键：

• 能量公式的直接应用。
• 角频率的计算需结合最大速度与振幅。
• 初相位需同时满足初始位移和速度方向的条件。

第（1）题：求振动能量

1. 求劲度系数
   最大恢复力 $F_m = kA$，代入 $F_m = 0.8 \, \text{N}$ 和 $A = 0.4 \, \text{m}$：
   $k = \frac{F_m}{A} = \frac{0.8}{0.4} = 2 \, \text{N/m}.$

2. 计算总能量
   简谐振动的总能量为：
   $E = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (0.4)^2 = 0.16 \, \text{J}.$

第（2）题：求振动的表达式

1. 确定角频率
   最大速度公式 $v_m = A\omega$，代入 $v_m = 0.8\pi \, \text{m/s}$ 和 $A = 0.4 \, \text{m}$：
   $\omega = \frac{v_m}{A} = \frac{0.8\pi}{0.4} = 2\pi \, \text{rad/s}.$

2. 确定初相位

   • 初始位移 $x(0) = 0.2 \, \text{m}$，代入振动方程 $x = A\sin(\omega t + \phi)$：
     $0.2 = 0.4\sin\phi \implies \sin\phi = 0.5.$
   • 初速度方向与 $x$ 轴相反，说明初速度为负。速度公式 $v = A\omega\cos(\omega t + \phi)$，代入 $t = 0$：
     $v(0) = 0.4 \cdot 2\pi \cdot \cos\phi < 0 \implies \cos\phi < 0.$
   • 综上，$\phi = \frac{5\pi}{6}$（第二象限）。

3. 写出振动方程
   振幅 $A = 0.4 \, \text{m}$，角频率 $\omega = 2\pi$，初相位 $\phi = \frac{5\pi}{6}$，故：
   $x = 0.4\sin\left(2\pi t + \frac{5\pi}{6}\right).$
   由于 $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{2}{m}}$，可改写为：
   $x = 0.4\sin\left(\sqrt{\frac{2}{m}} \cdot t + \frac{5\pi}{6}\right).$