假设没人的生日在一年365天中任意一天是等可能的，那么随机选取n(nleq365)个人，他们的生日各不相同的概率（ ）.A. (A_(365)^n)/(n^365)B. (C_(365)^n)/(n^365)C. (A_(365)^n)/(365^n)D. (C_(365)^n)/(365^n)
假设没人的生日在一年365天中任意一天是等可能的，那么随机选取$n(n\leq365)$个人，他们的生日各不相同的概率（ ）. A. $\frac{A_{365}^{n}}{n^{365}}$ B. $\frac{C_{365}^{n}}{n^{365}}$ C. $\frac{A_{365}^{n}}{365^{n}}$ D. $\frac{C_{365}^{n}}{365^{n}}$
题目解答
答案
我们来一步一步分析这个概率问题。
题目理解：
假设一年有 365 天，每个人的生日在 365 天中是等可能且独立的。现在随机选取 $ n $ 个人（$ n \leq 365 $），求这 $ n $ 个人的生日各不相同的概率。
解题思路：
我们要计算的是：n 个人生日互不相同的概率。
这个概率 =
（所有 n 个人生日各不相同的可能情况数） ÷ （所有可能的生日组合总数）
第一步：计算总的可能情况数
每个人生日可以是 365 天中的任意一天，且相互独立。
所以，n 个人的所有可能生日组合总数是：
$365 \times 365 \times \cdots \times 365 = 365^n$
第二步：计算生日各不相同的情况数
我们要让 n 个人的生日都不同。
- 第一个人：有 365 天可选
- 第二个人：不能和第一个相同，有 364 天可选
- 第三个人：不能和前两人相同，有 363 天可选
- ...
- 第 n 个人：有 $ 365 - n + 1 $ 天可选
所以，总的“生日各不相同”的排列数是：
$365 \times 364 \times 363 \times \cdots \times (365 - n + 1)$
这正是排列数 $ A_{365}^{n} $，也记作 $ P(365, n) $。
即：
$A_{365}^{n} = \frac{365!}{(365 - n)!}$
第三步：计算概率
所以，所求概率为：
$\frac{A_{365}^{n}}{365^n}$
选项分析：
A. $ \frac{A_{365}^{n}}{n^{365}} $ —— 分母是 $ n^{365} $，明显不对，应该是 $ 365^n $
B. $ \frac{C_{365}^{n}}{n^{365}} $ —— 组合数 + 错误分母，不对
C. $ \frac{A_{365}^{n}}{365^{n}} $ —— 正确！ 分子是排列数（考虑顺序的不同生日分配），分母是总情况数
D. $ \frac{C_{365}^{n}}{365^{n}} $ —— 分子是组合数，只选 n 天但没有考虑分配给人的顺序，少了排列，不对
> 为什么不是组合数 $ C_{365}^n $？
> 因为 $ C_{365}^n $ 只是从 365 天中选出 n 个不同的日期，但没有考虑这 n 个人分别对应哪一天。而每个人是具体的，生日分配是有顺序的。所以需要用排列 $ A_{365}^n $，它已经包含了“选 n 天并分配给 n 个人”的过程。
正确答案：
$\boxed{C. \frac{A_{365}^{n}}{365^{n}}}$
解析
考查要点：本题主要考查排列组合在概率问题中的应用，特别是生日问题的基本模型。关键在于理解排列数与组合数的区别，以及如何计算独立事件的总情况数。
解题核心思路：
- 总情况数：每个人的生日选择相互独立，因此总情况数为 $365^n$。
- 有利情况数：要求所有人生日不同，需按顺序逐个分配不同的日期，对应排列数 $A_{365}^n$。
- 概率公式：概率为有利情况数除以总情况数，即 $\frac{A_{365}^n}{365^n}$。
破题关键点：
- 区分排列与组合：排列数考虑顺序（如不同人的生日分配），组合数不考虑顺序（如仅选择日期集合）。
- 分母的正确性：总情况数是 $365^n$，而非 $n^{365}$，因为每个人有365种选择，共n个人。
步骤1：计算总情况数
每个人的生日有365种可能，且相互独立，因此总情况数为：
$365 \times 365 \times \cdots \times 365 = 365^n$
步骤2：计算有利情况数
要求所有人生日不同，分配过程如下：
- 第1人：有365天可选。
- 第2人：不能与第1人重复，有364天可选。
- 第3人：不能与前两人重复，有363天可选。
- …
- 第n人：有 $365 - n + 1$ 天可选。
因此，有利情况数为：
$365 \times 364 \times 363 \times \cdots \times (365 - n + 1) = A_{365}^n$
其中，$A_{365}^n = \frac{365!}{(365 - n)!}$ 是排列数。
步骤3：计算概率
概率为有利情况数除以总情况数：
$\frac{A_{365}^n}{365^n}$
选项分析：
- 选项C 的分子为排列数 $A_{365}^n$，分母为总情况数 $365^n$，正确。
- 选项D 的分子为组合数 $C_{365}^n$，未考虑顺序，错误。
- 选项A、B 的分母错误，应为 $365^n$。