题目
设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是( ) (A)A与B等价; (B)A与B有相同的秩; (C)A与B的特征向量相同; (D)A与B的行列式相同.
设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是( ) (A)A与B等价;
(B)A与B有相同的秩;
(C)A与B的特征向量相同;
(D)A与B的行列式相同.
题目解答
答案
根据矩阵相似定义可知，存在可逆矩阵P，使
，这等价于对矩阵A进行了一系列的初等变换得到矩阵B，所以A与B有相同的秩，A与B等价选项A、B正确；
根据方阵的行列式的性质可知，
由逆矩阵的运算律可知，
所以有
即
所以，选项D正确；
由特征值的定义可知，矩阵A,B有相同的特征值，但因为矩阵A,B内的元素并不完全相同，所以A与B的特征向量不一定相同，即C错误。
故正确选项为C。
解析
步骤 1：矩阵相似的定义
矩阵A和B相似，意味着存在一个可逆矩阵P，使得${P}^{-1}AP=B$。这表明矩阵A和B可以通过一系列的初等变换相互转换，因此它们具有相同的秩和等价性。
步骤 2：矩阵的秩和等价性
由于矩阵A和B可以通过初等变换相互转换，所以它们具有相同的秩。同时，由于存在可逆矩阵P使得${P}^{-1}AP=B$，所以矩阵A和B是等价的。
步骤 3：矩阵的行列式
根据行列式的性质，对于矩阵A和B，有$|B|=|{P}^{-1}AP|=|{P}^{-1}||A||P|=\dfrac {1}{|P|}|A||P|=|A|$。因此，矩阵A和B的行列式相同。
步骤 4：矩阵的特征向量
虽然矩阵A和B有相同的特征值，但它们的特征向量不一定相同。因为特征向量依赖于矩阵的具体元素，而矩阵A和B的元素并不完全相同，所以它们的特征向量可能不同。
矩阵A和B相似，意味着存在一个可逆矩阵P，使得${P}^{-1}AP=B$。这表明矩阵A和B可以通过一系列的初等变换相互转换，因此它们具有相同的秩和等价性。
步骤 2：矩阵的秩和等价性
由于矩阵A和B可以通过初等变换相互转换，所以它们具有相同的秩。同时，由于存在可逆矩阵P使得${P}^{-1}AP=B$，所以矩阵A和B是等价的。
步骤 3：矩阵的行列式
根据行列式的性质，对于矩阵A和B，有$|B|=|{P}^{-1}AP|=|{P}^{-1}||A||P|=\dfrac {1}{|P|}|A||P|=|A|$。因此，矩阵A和B的行列式相同。
步骤 4：矩阵的特征向量
虽然矩阵A和B有相同的特征值，但它们的特征向量不一定相同。因为特征向量依赖于矩阵的具体元素，而矩阵A和B的元素并不完全相同，所以它们的特征向量可能不同。