题目
三、计算题1、若A=(}-1&0&02&-1&03&2&-1)且AX=A-2X，求矩阵X.
三、计算题
1、若$A=\left(\begin{matrix}-1&0&0\\2&-1&0\\3&2&-1\end{matrix}\right)$且$AX=A-2X$，求矩阵X.
题目解答
答案
将方程 $AX = A - 2X$ 整理为 $(A + 2I)X = A$，其中 $I$ 为单位矩阵。
计算 $A + 2I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$。
求 $(A + 2I)^{-1}$，通过初等行变换得：
\[
(A + 2I)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
\]
则 $X = (A + 2I)^{-1}A$，计算得：
\[
X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 4 & -1 & 0 \\ -2 & 4 & -1 \end{pmatrix}}.
\]