题目
下列函数是微分方程 y' + xy = 0 的通解是()A. y = Ce^-(1)/(2)x^2B. y = Ce^x^2C. y = Cxe^-(1)/(2)x^2D. y = Ce^(1)/(2)x^2
下列函数是微分方程 $y' + xy = 0$ 的通解是()
A. $y = Ce^{-\frac{1}{2}x^2}$
B. $y = Ce^{x^2}$
C. $y = Cxe^{-\frac{1}{2}x^2}$
D. $y = Ce^{\frac{1}{2}x^2}$
题目解答
答案
A. $y = Ce^{-\frac{1}{2}x^2}$
解析
步骤 1：分离变量
给定的微分方程是 $y' + xy = 0$。首先，将方程重写为 $y' = -xy$，然后分离变量得到 $\frac{dy}{y} = -x \, dx$。
步骤 2：积分
对两边进行积分，得到 $\int \frac{dy}{y} = \int -x \, dx$。左边的积分是 $\ln |y|$，右边的积分是 $-\frac{1}{2}x^2$，加上积分常数 $C_1$，得到 $\ln |y| = -\frac{1}{2}x^2 + C_1$。
步骤 3：求解 $y$
对两边进行指数运算，得到 $|y| = e^{-\frac{1}{2}x^2 + C_1}$。设 $C = e^{C_1}$，则 $y = C e^{-\frac{1}{2}x^2}$，其中 $C$ 是任意常数。
给定的微分方程是 $y' + xy = 0$。首先，将方程重写为 $y' = -xy$，然后分离变量得到 $\frac{dy}{y} = -x \, dx$。
步骤 2：积分
对两边进行积分，得到 $\int \frac{dy}{y} = \int -x \, dx$。左边的积分是 $\ln |y|$，右边的积分是 $-\frac{1}{2}x^2$，加上积分常数 $C_1$，得到 $\ln |y| = -\frac{1}{2}x^2 + C_1$。
步骤 3：求解 $y$
对两边进行指数运算，得到 $|y| = e^{-\frac{1}{2}x^2 + C_1}$。设 $C = e^{C_1}$，则 $y = C e^{-\frac{1}{2}x^2}$，其中 $C$ 是任意常数。