题目

设(X,Y)的分布函数为(x,y)=dfrac (1)({pi )^2}(dfrac (pi )(2)+arctan dfrac (x)(2))(dfrac (pi )(2)+arctan y)，求：(1)边缘分布函数(x,y)=dfrac (1)({pi )^2}(dfrac (pi )(2)+arctan dfrac (x)(2))(dfrac (pi )(2)+arctan y);(2)判断X与Y是否独立；(3)(x,y)=dfrac (1)({pi )^2}(dfrac (pi )(2)+arctan dfrac (x)(2))(dfrac (pi )(2)+arctan y).

设(X,Y)的分布函数为 $F(x,y)=\frac{1}{\pi ^2}(\frac{\pi }{2}+\arctan \frac{x}{2} ) (\frac{\pi}{2}+\arctan y )$ ，求：

(1)边缘分布函数 $F_X(x),F_Y(y)$ ;(2)判断X与Y是否独立；(3) $P\{0<X\le 2,0<Y\le \frac{\sqrt[]{3} }{3}\}$ .

题目解答

答案

(1)边缘分布函数 $F_X(x)和F_Y(y)$ 可以通过将另一个变量的范围取遍所有可能的值来得到。对于给定的联合分布函数F(x,y)，我们有

$F_X(x)=F(x,+\infty)=\frac{1}{\pi^2}(\frac{\pi}{2}+\arctan\frac{x}{2})\pi=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\arctan\frac{x}{2}$

$F_Y(y)=F(+\infty,y)=\frac{1}{\pi^2}\pi(\frac{\pi}{2}+\arctan y)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\arctan y$

(2)如果随机变量X和Y是独立的，那么它们的联合分布函数应该等于它们的边缘分布函数的乘积，即 $F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$ 。但是在这个例子中，我们有

$\begin{array}{l} F(x,y)=\frac{1}{\pi^2}(\frac{\pi}{2}+\arctan \frac{x}{2})(\frac{\pi}{2}+\arctan y)\\ \neq F_X(x)F_Y(y)=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\arctan \frac{x}{2}\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\arctan y\right) \end{array}$

所以，随机变量X和Y不是独立的。

(3)对于 $P\{0<X\le 2,0<Y\le \frac{\sqrt[]{3}}{3}\}$ ，我们需要计算的是 $F(2,\frac{\sqrt[]{3}}{3})-F(0,0)$ ，代入联合分布函数，我们可以得到

$\begin{array}{l} P\{0<X\le 2,0<Y\le \frac{\sqrt[]{3}}{3}\}\\ =F(2,\frac{\sqrt[]{3}}{3})-F(0,0)\\ =\frac{1}{\pi^2}(\frac{\pi}{2}+\arctan 1)(\frac{\pi}{2}+\arctan \frac{\sqrt[]{3}}{3})-\frac{1}{\pi^2}(\frac{\pi}{2}+\arctan 0)(\frac{\pi}{2}+\arctan 0)\\ =\frac{1}{4} \end{array}$

所以，边缘分布函数 $F_X(x)$ 为 $\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\arctan\frac{x}{2}，F_Y(y)$ 为 $\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\arctan y$ ，随机变量X和Y不是独立的， $P\{0<X\le 2,0<Y\le \frac{\sqrt[]{3}}{3}\}$ 的值为 $\frac{1}{4}$ 。