题目
11.口袋中有1个白球、1个黑球.从中任取1个,若取出白球,则试验停止;若取出黑球,则把取出的黑球放回的同时,再加入1个黑球,如此下去,直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率:(1)取到第n次,试验没有结束;(2)取到第n次，试验恰好结束
11.口袋中有1个白球、1个黑球.从中任取1个,若取出白球,则试验停止;若取出黑球,则把取出的黑球放回的同时,再加入1个黑球,如此下去,直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率:
(1)取到第n次,试验没有结束;(2)取到第n次，试验恰好结束
题目解答
答案
令事件
，则
（2）
（2）
解析
步骤 1：定义事件
令事件${A}_{i}=$ 第i次取到黑球}, $\hat {i}=1,2,$, ...，则
步骤 2：计算取到第n次试验没有结束的概率
取到第n次试验没有结束，意味着前n次都取到黑球，即事件${A}_{1}{A}_{2}\cdots {A}_{n}$发生。根据题意，每次取球后，黑球的数量会增加，因此每次取到黑球的概率会变化。第1次取到黑球的概率为$\frac{1}{2}$，第2次取到黑球的概率为$\frac{2}{3}$，以此类推，第n次取到黑球的概率为$\frac{n}{n+1}$。因此，取到第n次试验没有结束的概率为$P({A}_{1}{A}_{2}\cdots {A}_{n})=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \cdots \times \frac{n}{n+1}=\frac{1}{n+1}$。
步骤 3：计算取到第n次试验恰好结束的概率
取到第n次试验恰好结束，意味着前n-1次都取到黑球，第n次取到白球，即事件${A}_{1}{A}_{2}\cdots {A}_{n-1}\overline{A}_{n}$发生。根据题意，第n次取到白球的概率为$\frac{1}{n+1}$。因此，取到第n次试验恰好结束的概率为$P({A}_{1}{A}_{2}\cdots {A}_{n-1}\overline{A}_{n})=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \cdots \times \frac{n-1}{n}\times \frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$。
令事件${A}_{i}=$ 第i次取到黑球}, $\hat {i}=1,2,$, ...，则
步骤 2：计算取到第n次试验没有结束的概率
取到第n次试验没有结束，意味着前n次都取到黑球，即事件${A}_{1}{A}_{2}\cdots {A}_{n}$发生。根据题意，每次取球后，黑球的数量会增加，因此每次取到黑球的概率会变化。第1次取到黑球的概率为$\frac{1}{2}$，第2次取到黑球的概率为$\frac{2}{3}$，以此类推，第n次取到黑球的概率为$\frac{n}{n+1}$。因此，取到第n次试验没有结束的概率为$P({A}_{1}{A}_{2}\cdots {A}_{n})=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \cdots \times \frac{n}{n+1}=\frac{1}{n+1}$。
步骤 3：计算取到第n次试验恰好结束的概率
取到第n次试验恰好结束，意味着前n-1次都取到黑球，第n次取到白球，即事件${A}_{1}{A}_{2}\cdots {A}_{n-1}\overline{A}_{n}$发生。根据题意，第n次取到白球的概率为$\frac{1}{n+1}$。因此，取到第n次试验恰好结束的概率为$P({A}_{1}{A}_{2}\cdots {A}_{n-1}\overline{A}_{n})=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \cdots \times \frac{n-1}{n}\times \frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$。