4、设函数 f(x)= ^x-1-x), xlt 0 a , x=0 xsin dfrac (1)(x)+b, xgt 0 . 在 x=0 处连续,则常数a,b的值为 ()-|||-(A) a=1 b=1 (B) x=0,b=1 (C) a=1,b=0 (少) =0, b=-1

步骤 1：计算左极限
当 $x \to 0^{-}$ 时，我们有：
$$
\lim_{x \to 0^{-}} \frac{1-\cos x}{{e}^{x}-1-x}
$$
利用等价无穷小替换，当 $x \to 0$ 时，$1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$，${e}^{x} \sim 1+x+\frac{x^2}{2}$，因此：
$$
\lim_{x \to 0^{-}} \frac{1-\cos x}{{e}^{x}-1-x} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{x^2}{2}}{\frac{x^2}{2}} = 1
$$
步骤 2：计算右极限
当 $x \to 0^{+}$ 时，我们有：
$$
\lim_{x \to 0^{+}} x\sin \frac{1}{x} + b
$$
由于 $\sin \frac{1}{x}$ 在 $x \to 0^{+}$ 时有界，而 $x \to 0^{+}$，因此：
$$
\lim_{x \to 0^{+}} x\sin \frac{1}{x} = 0
$$
所以：
$$
\lim_{x \to 0^{+}} x\sin \frac{1}{x} + b = b
$$
步骤 3：确定常数a和b
由于函数在 $x=0$ 处连续，因此左极限、右极限和函数值必须相等，即：
$$
\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^{+}} f(x)
$$
根据步骤 1 和步骤 2，我们有：
$$
1 = a = b
$$