题目
设 L 是以点 O(0,0), A(2,0) 和 B(0,2) 为顶点的三角形的边界,则 int_(L) (x + y), ds 等于:A. 4 - 4sqrt(2)B. 4sqrt(2) - 4C. 4 + 4sqrt(2)D. 4sqrt(2)
设 $L$ 是以点 $O(0,0)$, $A(2,0)$ 和 $B(0,2)$ 为顶点的三角形的边界,则 $\int_{L} (x + y)\, ds$ 等于:
A. $4 - 4\sqrt{2}$
B. $4\sqrt{2} - 4$
C. $4 + 4\sqrt{2}$
D. $4\sqrt{2}$
题目解答
答案
C. $4 + 4\sqrt{2}$
解析
步骤 1：边 $OA$ 的积分
边 $OA$ 是从点 $O(0,0)$ 到点 $A(2,0)$ 的线段，因此 $y=0$，$ds=dx$。积分 $\int_{OA} (x + y)\, ds = \int_0^2 x \, dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 = 2$。
步骤 2：边 $AB$ 的积分
边 $AB$ 是从点 $A(2,0)$ 到点 $B(0,2)$ 的线段，因此 $y=2-x$，$ds=\sqrt{1^2+(-1)^2} \, dx = \sqrt{2} \, dx$。积分 $\int_{AB} (x + y)\, ds = \int_2^0 (x + 2 - x) \sqrt{2} \, dx = \int_2^0 2 \sqrt{2} \, dx = 4\sqrt{2}$。
步骤 3：边 $BO$ 的积分
边 $BO$ 是从点 $B(0,2)$ 到点 $O(0,0)$ 的线段，因此 $x=0$，$ds=dy$。积分 $\int_{BO} (x + y)\, ds = \int_2^0 y \, dy = \left[\frac{y^2}{2}\right]_2^0 = 2$。
步骤 4：总积分
总积分是边 $OA$、$AB$ 和 $BO$ 的积分之和，即 $2 + 4\sqrt{2} + 2 = 4 + 4\sqrt{2}$。
边 $OA$ 是从点 $O(0,0)$ 到点 $A(2,0)$ 的线段，因此 $y=0$，$ds=dx$。积分 $\int_{OA} (x + y)\, ds = \int_0^2 x \, dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 = 2$。
步骤 2：边 $AB$ 的积分
边 $AB$ 是从点 $A(2,0)$ 到点 $B(0,2)$ 的线段，因此 $y=2-x$，$ds=\sqrt{1^2+(-1)^2} \, dx = \sqrt{2} \, dx$。积分 $\int_{AB} (x + y)\, ds = \int_2^0 (x + 2 - x) \sqrt{2} \, dx = \int_2^0 2 \sqrt{2} \, dx = 4\sqrt{2}$。
步骤 3：边 $BO$ 的积分
边 $BO$ 是从点 $B(0,2)$ 到点 $O(0,0)$ 的线段，因此 $x=0$，$ds=dy$。积分 $\int_{BO} (x + y)\, ds = \int_2^0 y \, dy = \left[\frac{y^2}{2}\right]_2^0 = 2$。
步骤 4：总积分
总积分是边 $OA$、$AB$ 和 $BO$ 的积分之和，即 $2 + 4\sqrt{2} + 2 = 4 + 4\sqrt{2}$。