[例4] 设 varphi (x)= { ,xneq 0 0, x=0 . 函数f(x)可导,求 (x)=f(varphi (x)) 的导数.

考查要点：本题主要考查复合函数的求导法则，特别是分段函数在分段点处的导数计算。需要特别注意链式法则的应用以及分段点处导数的存在性判断。

解题核心思路：

1. 分情况讨论：当$x \neq 0$时，直接应用链式法则；当$x = 0$时，需验证$\varphi(x)$在$x=0$处的可导性，再利用复合函数求导公式。
2. 关键点：计算$\varphi'(0)$时，需通过导数定义严格推导，确认极限存在。

当$x \neq 0$时

1. 应用链式法则：
   $F'(x) = f'(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x)$。
2. 计算$\varphi'(x)$：
   $\varphi(x) = x^3 \sin \frac{1}{x}$，由乘积法则得：
   $\varphi'(x) = 3x^2 \sin \frac{1}{x} + x^3 \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \cos \frac{1}{x} \right) = 3x^2 \sin \frac{1}{x} - x \cos \frac{1}{x}.$

当$x = 0$时

1. 验证$\varphi'(0)$存在：
   根据导数定义：
   $\varphi'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\varphi(x) - \varphi(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3 \sin \frac{1}{x}}{x} = \lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x}.$
   由于$|x^2 \sin \frac{1}{x}| \leq x^2 \to 0$，故$\varphi'(0) = 0$。
2. 应用复合函数求导公式：
   $F'(0) = f'(\varphi(0)) \cdot \varphi'(0) = f'(0) \cdot 0 = 0$。