题目
25. (4.0分) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)=}cxy,0le xle 1,0le yle 1,0.其他,则常数c=____.
25. (4.0分) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为$f(x,y)=\begin{cases}cxy,0\le x\le 1,0\le y\le 1,\\0.其他,\end{cases}$则常数c=____.
题目解答
答案
根据概率密度函数的性质，联合概率密度函数在定义域内的积分等于1。即：
\[
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} cxy \, dx \, dy = 1
\]
先对 $x$ 积分：
\[
\int_{0}^{1} cxy \, dx = c y \int_{0}^{1} x \, dx = c y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{c y}{2}
\]
再对 $y$ 积分：
\[
\int_{0}^{1} \frac{c y}{2} \, dy = \frac{c}{2} \int_{0}^{1} y \, dy = \frac{c}{2} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{c}{4}
\]
令其等于1，解得 $c = 4$。
**答案：** $\boxed{4}$
解析
本题考查二维随机变量概率密度函数的性质，解题思路是利用联合概率密度函数在定义域内的积分积分等于$1$这一性质来求解常数$c$。
具体计算步骤如下：
根据概率密度函数的性质，联合概率密度函数在定义域内的积分等于$1$，即$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} cxy \, dx \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = 1$。
先对$x$积分：
$\int_{0}^{1} cxy \, \mathrm{d}x = cy \int_{0}^{1} x \, \mathrm{d}x = cy \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{cy}{2}$。
再对\(0)积分：
$\int_{0}^{1} \frac{cy}{2} \, \mathrm{d}y = \frac{c}{2} \int_{0}^{1} y \, \mathrm{d}y = \frac{c}{2} \left[\frac{y^2}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{c}{4}$。
令$\frac{c}{4}=1$，解得$c = 4$。