题目
波长600 nm的单色光垂直入射在一光栅上，有2个相邻主极大明纹分别出现在sinθ1=0．20与sinθ2=0．30处，且第4级缺级。试求： (1)光栅常数； (2)光栅狭缝的最小宽度； (3)按上述选定的缝宽和光栅常数，写出光屏上实际呈现的全部级数。
波长600 nm的单色光垂直入射在一光栅上，有2个相邻主极大明纹分别出现在sinθ1=0．20与sinθ2=0．30处，且第4级缺级。试求： (1)光栅常数； (2)光栅狭缝的最小宽度； (3)按上述选定的缝宽和光栅常数，写出光屏上实际呈现的全部级数。
题目解答
答案
(1)由光栅方程得 (a+b)sinθ1=kλ (a+b)sinθ2=(k+1)λ将两式相减有 (a+b)(sinθ2-sinθ1)=λ故光栅常数 (2)由于第四级主极大缺级故满足下列关系 (a+b)sinθ=4λ asinθ=kλ将两式相除有 考虑到缺级现象在屏上有k=0±1±2±3±5±6±7±9的主极大条纹出现。k=±10时主极明纹出现在θ=±90°处。
在本题的第(2)问中，求的是“最小缝宽”，如果没有此限制，则可能存在其他的满足题意的缝宽。具体情况可参照4—65题。
在本题的第(2)问中，求的是“最小缝宽”，如果没有此限制，则可能存在其他的满足题意的缝宽。具体情况可参照4—65题。
解析
步骤 1：确定光栅常数
根据光栅方程，对于相邻的两个主极大明纹，有：
\[ (a+b)\sin\theta_1 = k\lambda \]
\[ (a+b)\sin\theta_2 = (k+1)\lambda \]
其中，\(a+b\)是光栅常数，\(k\)是主极大明纹的级数，\(\lambda\)是光的波长。将两式相减，得到：
\[ (a+b)(\sin\theta_2 - \sin\theta_1) = \lambda \]
代入已知的数值，\(\lambda = 600 \text{ nm}\)，\(\sin\theta_1 = 0.20\)，\(\sin\theta_2 = 0.30\)，解得：
\[ a+b = \frac{\lambda}{\sin\theta_2 - \sin\theta_1} = \frac{600 \text{ nm}}{0.30 - 0.20} = 6000 \text{ nm} \]
步骤 2：确定光栅狭缝的最小宽度
由于第4级缺级，即\(k=4\)时没有主极大明纹，根据光栅方程，有：
\[ (a+b)\sin\theta = 4\lambda \]
\[ a\sin\theta = k\lambda \]
将两式相除，得到：
\[ \frac{a}{a+b} = \frac{k}{4} \]
由于\(k\)可以取0，±1，±2，±3，±5，±6，±7，±9，因此\(k=3\)时，\(\frac{a}{a+b} = \frac{3}{4}\)，解得：
\[ a = \frac{3}{4}(a+b) = \frac{3}{4} \times 6000 \text{ nm} = 4500 \text{ nm} \]
步骤 3：确定光屏上实际呈现的全部级数
根据光栅方程，\(a\sin\theta = k\lambda\)，由于\(a=4500 \text{ nm}\)，\(\lambda = 600 \text{ nm}\)，解得：
\[ \sin\theta = \frac{k\lambda}{a} = \frac{k \times 600 \text{ nm}}{4500 \text{ nm}} = \frac{k}{7.5} \]
由于\(\sin\theta\)的取值范围是\([-1, 1]\)，因此\(k\)的取值范围是\([-7.5, 7.5]\)，即\(k\)可以取0，±1，±2，±3，±5，±6，±7，±9。
根据光栅方程，对于相邻的两个主极大明纹，有：
\[ (a+b)\sin\theta_1 = k\lambda \]
\[ (a+b)\sin\theta_2 = (k+1)\lambda \]
其中，\(a+b\)是光栅常数，\(k\)是主极大明纹的级数，\(\lambda\)是光的波长。将两式相减，得到：
\[ (a+b)(\sin\theta_2 - \sin\theta_1) = \lambda \]
代入已知的数值，\(\lambda = 600 \text{ nm}\)，\(\sin\theta_1 = 0.20\)，\(\sin\theta_2 = 0.30\)，解得：
\[ a+b = \frac{\lambda}{\sin\theta_2 - \sin\theta_1} = \frac{600 \text{ nm}}{0.30 - 0.20} = 6000 \text{ nm} \]
步骤 2：确定光栅狭缝的最小宽度
由于第4级缺级，即\(k=4\)时没有主极大明纹，根据光栅方程，有：
\[ (a+b)\sin\theta = 4\lambda \]
\[ a\sin\theta = k\lambda \]
将两式相除，得到：
\[ \frac{a}{a+b} = \frac{k}{4} \]
由于\(k\)可以取0，±1，±2，±3，±5，±6，±7，±9，因此\(k=3\)时，\(\frac{a}{a+b} = \frac{3}{4}\)，解得：
\[ a = \frac{3}{4}(a+b) = \frac{3}{4} \times 6000 \text{ nm} = 4500 \text{ nm} \]
步骤 3：确定光屏上实际呈现的全部级数
根据光栅方程，\(a\sin\theta = k\lambda\)，由于\(a=4500 \text{ nm}\)，\(\lambda = 600 \text{ nm}\)，解得：
\[ \sin\theta = \frac{k\lambda}{a} = \frac{k \times 600 \text{ nm}}{4500 \text{ nm}} = \frac{k}{7.5} \]
由于\(\sin\theta\)的取值范围是\([-1, 1]\)，因此\(k\)的取值范围是\([-7.5, 7.5]\)，即\(k\)可以取0，±1，±2，±3，±5，±6，±7，±9。