题目

6.设sum为曲面z=sqrt(x^2)+y^(2)(zleq1)，则曲面积分iintlimits_(sum)(x^2+y^2)dS=____

6.设$\sum$为曲面$z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}(z\leq1)$，则曲面积分$\iint\limits_{\sum}(x^{2}+y^{2})dS=$____

题目解答

答案

将曲面 $\sum: z = \sqrt{x^2 + y^2}$（$z \leq 1$）投影到 $xy$-平面，得到圆 $x^2 + y^2 \leq 1$。曲面元素 $dS$ 为： \[ dS = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, dA = \sqrt{2} \, dA \] 其中 $dA = dx \, dy$。转换为极坐标 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dA = r \, dr \, d\theta$，积分变为： \[ \iint\limits_{\sum} (x^2 + y^2) \, dS = \sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r^2 \cdot r \, dr \, d\theta = \sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r^3 \, dr \, d\theta \] 计算得： \[ \sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{1} \, d\theta = \frac{\sqrt{2}}{4} \int_{0}^{2\pi} \, d\theta = \frac{\sqrt{2} \pi}{2} \] 答案：$\boxed{\frac{\sqrt{2} \pi}{2}}$

解析

考查要点：本题主要考查曲面积分的计算方法，特别是将曲面积分转化为二重积分的能力，以及利用极坐标简化积分计算的技巧。

解题核心思路：

确定曲面形状：曲面$z = \sqrt{x^2 + y^2}$是锥面，$z \leq 1$限制其投影区域为单位圆$x^2 + y^2 \leq 1$。
计算曲面元素$dS$：通过偏导数求出$dS = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, dA$，化简后得到$dS = \sqrt{2} \, dA$。
转换为极坐标：利用极坐标简化积分，将被积函数和积分区域转换为$r$和$\theta$的表达式。
分步积分：先对$r$积分，再对$\theta$积分，最终得到结果。

破题关键点：

正确计算偏导数，确定$dS$的系数。
选择极坐标系简化积分计算。
分步积分时注意变量替换和积分限。

步骤1：确定投影区域
曲面$z = \sqrt{x^2 + y^2}$在$z \leq 1$时，投影到$xy$-平面的区域为圆$x^2 + y^2 \leq 1$。

步骤2：计算曲面元素$dS$
偏导数为：
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$
因此：
$dS = \sqrt{1 + \left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right)^2 + \left(\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right)^2} \, dA = \sqrt{2} \, dA$

步骤3：转换为极坐标
令$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，则$x^2 + y^2 = r^2$，$dA = r \, dr \, d\theta$。积分变为：
$\iint\limits_{\sum} (x^2 + y^2) \, dS = \sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r^2 \cdot r \, dr \, d\theta = \sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r^3 \, dr \, d\theta$

步骤4：分步积分
先对$r$积分：
$\int_{0}^{1} r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}$
再对$\theta$积分：
$\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} \, d\theta = \frac{1}{4} \cdot 2\pi = \frac{\pi}{2}$
最终结果为：
$\sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\sqrt{2} \pi}{2}$