19. int (e)^sqrt [3](x)dx

本题考查不定积分的计算，解题思路是通过换元法将被积函数化简，然后利用分部积分法进行求解。

1. 换元：
   令$\sqrt[3]{x}=t$，则$x = t^3$，对$x = t^3$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得$dx = 3t^2dt$。
   将$\sqrt[3]{x}=t$和$dx = 3t^2dt$代入原积分$\int e^{\sqrt[3]{x}}dx$，得到$\int e^t\cdot 3t^2dt = 3\int t^2e^tdt$。
2. 使用分部积分法：
   分部积分公式为$\int udv = uv - \int vdu$。
   对于$3\int t^2e^tdt$，令$u = t^2$，$dv = e^tdt$。
   对$u = t^2$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得$du = 2tdt$；
   对$dv = e^tdt$积分，可得$v = e^t$。
   根据分部积分公式可得：
   $3\int t^2e^tdt = 3\left(t^2e^t - \int e^t\cdot 2tdt\right)=3t^2e^t - 6\int te^tdt$。
3. 再次使用分部积分法：
   对于$\int te^tdt$，令$u = t$，$dv = e^tdt$。
   对$u = t$求导，可得$du = dt$；
   对$dv = e^tdt$积分，可得$v = e^t$。
   根据分部积分公式可得：
   $\int te^tdt = te^t - \int e^tdt$。
   对$\int e^tdt$积分，可得$\int e^tdt = e^t + C_1$（$C_1$为常数）。
   所以$\int te^tdt = te^t - e^t + C_1$。
4. 回代：
   将$\int te^tdt = te^t - e^t + C_1$代入$3t^2e^t - 6\int te^tdt$可得：
   $\begin{align*}3t^2e^t - 6\int te^tdt&=3t^2e^t - 6(te^t - e^t + C_1)\\&=3t^2e^t - 6te^t + 6e^t - 6C_1\end{align*}$
   令$C = - 6C_1$（$C$为常数），再将$t = \sqrt[3]{x}$回代，得到：
   $\int e^{\sqrt[3]{x}}dx = 3x^{\frac{2}{3}}e^{\sqrt[3]{x}} - 6\sqrt[3]{x}e^{\sqrt[3]{x}} + 6e^{\sqrt[3]{x}} + C$。