19. int (e)^sqrt [3](x)dx

步骤 1：代换
令 $t = \sqrt[3]{x}$，则 $x = t^3$，$dx = 3t^2 dt$。
步骤 2：代入
将 $t$ 和 $dx$ 代入原积分，得到 $\int e^t \cdot 3t^2 dt$。
步骤 3：分部积分
使用分部积分法，设 $u = t^2$，$dv = 3e^t dt$，则 $du = 2t dt$，$v = 3e^t$。
步骤 4：计算
根据分部积分公式 $\int u dv = uv - \int v du$，计算得到 $\int e^t \cdot 3t^2 dt = 3t^2 e^t - \int 6t e^t dt$。
步骤 5：再次分部积分
对 $\int 6t e^t dt$ 再次使用分部积分法，设 $u = t$，$dv = 6e^t dt$，则 $du = dt$，$v = 6e^t$。
步骤 6：计算
根据分部积分公式 $\int u dv = uv - \int v du$，计算得到 $\int 6t e^t dt = 6t e^t - \int 6e^t dt$。
步骤 7：计算
计算 $\int 6e^t dt = 6e^t + C$。
步骤 8：合并
将所有部分合并，得到 $\int e^t \cdot 3t^2 dt = 3t^2 e^t - 6t e^t + 6e^t + C$。
步骤 9：回代
将 $t = \sqrt[3]{x}$ 回代，得到 $\int e^{\sqrt[3]{x}} dx = 3x^{\frac{2}{3}} e^{\sqrt[3]{x}} - 6\sqrt[3]{x} e^{\sqrt[3]{x}} + 6e^{\sqrt[3]{x}} + C$。